Tiêu đề Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 15 - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN.doc ✅

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 15: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Điểm và vecto Ba vecto đơn vị i,j,k→→→ trên 3 trục Ox, Oy, Oz: i(1;0;0)→ , j(0;1;0)→ , k(0;0;1)→ Hai điểm 111A(x,y,z) và 222B(x,y,z) thì: 212121 222 212121 AB(xx;yy;zz) AB(xx)(yy)(zz)   → Điểm M chia đoạn thẳng Ab theo tỉ số k1 : 12 12 12 xkx x 1k yky MAkMBy 1k zkz z 1k              →→ Hai vecto: u(x,y,z)→ và v(x',y',z')→ thì:  222 222222 uv(xx';yy';zz');ku(kx;ky;kz) u.vxx'yy'zz';uxyz yzzxxy u;v; y'z'z'z'x'y' x.x'y.y'z.z' cosu,v xyz.x'y'z'           →→→ →→→ →→ →→ - 3 vecto a,b,c→→→ đồng phẳng: a,b.c0  →→→ - 3 vecto a,b,c→→→ không đồng phẳng: a,b.c0  →→→ Diện tích và thể tích Diện tích tam giác ABC: 1 SAB,AC 2   →→ Thể tích tứ diện ABCD: 1 VAB,AC.AD 6   →→→ Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: VAB,AD.AA'  →→→ Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: 1 VAB,AD.AA' 2   →→→ Góc giữa 2 mặt phẳng: mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ và mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n'→ thì
Trang 2 cos((P),(Q)) =cos(n,n')→→ Góc giữa 2 đường thẳng: d có VTCP u→ và d’ có VTCP v→ thì cos(d,d')cos(u,v)→→ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: d có VTCP u→ và (P) có VTPT n→ sin(d,(P))cos(u,n)→→ Khoảng cách từ 0000M(x,y,z) đến mặt phẳng: (Oxy) là 0z ; (Oyz) là 0x ; (Ozx) là 0y (P):AxByCzD0 là: 000 0 222 AxByCzD d(M,P) ABC    Khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng: Cho 0000M(x,y,z) và đường thẳng d qua A và có VTCP uAB→→ thì 0 0 AM,u d(M,d) u    →→ → Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 1d qua 1M và có VTCP 12u;d→ qua 2M và có VTCP thì 1212 12 12 u,u.MM d(d,d) u,u      →→→→ →→ Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Mặt phẳng qua 000M(x,y) và vecto pháp tuyến n(A,B,C)→ 222 Ax+By+Cz+D=0, ABC0 hay 000A(xx)B(yy)C(zz)0 Phương trình của đường thẳng: đi qua 0000M(x,y,z) và có vecto chỉ phương 222 u(a,b,c),abc0→ Phương trình tham số: 0 0 0 xxat d:yybt,tR zzct      
Trang 3 Phương trình chính tắc khi 000xxyyzz a,b,c0: abc   Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính R: 2222 (xa)(yb)(zc)R hay: 222222 xyz2Ax2By2CzD0,ABCD0 Có tâm I(A,B,C) và bán kính 222RABCD Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: (P): AxByCzD0 và (Q): A'xB'yC'zD'0 - Cắt nhau: A:B:CA':B':C' - Trùng nhau: ABCD A'B'C'D' ; Song song: ABCD A'B'C'D' Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Đi qua AAAA(x,y,z) và có vecto chỉ phương u(a,b,c)→ Đi qua BBBB(x,y,z) và có vecto chỉ phương v(a',b',c')→ -Chéo nhau: u,v.AB0  →→→ -Cắt nhau: u,v.AB0  →→→ và a:b:ca':b':c' -Trùng nhau: BABABAa:b:ca':b':c'(xx):(yy):(zz) -Song song: BABABAa:b:ca':b':c'(xx):(yy):(zz) *Hai điểm 1111M(x,y,z) và 2222M(x,y,z) nằm về hai phía của mặt phẳng (P): AxByCzD0 khi và chỉ khi: 111221(AxByCzD).(AxByCzD)0 Vị trí tương đối của 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng: Đường thẳng d qua A và có vecto chỉ phương u→ và mặt phẳng (P) qua 0M và có vecto pháp tuyến n→ - Cắt nhau: u.n0→→ Song song: u.n0→→ và A(P) - Đường thẳng thuộc mặt phẳng u.n0→→ và A(P) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu S(I;R). Gọi IH = d là khoảng cách từ tâm I đến (P) thù: a)Nếu d<R; mp (P) cắt mặt cầu theo hướng tròn giao tuyển có tâm H là hình chiếu của tâm I lên mp(P), bán kính 22rRd Đặc biệt, khi d=0 thì mp(P) đi qua tâm I của mặt cầu, giao tuyến là đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính R b) Nếu d=R, mp(P) và mặt cầu S(I;R) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H hoặc mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại tiếp điểm H c) Nếu d>R: mp(P) không có điểm chung với mặ cầu. Ứng dụng giải bài toán không gian:
Trang 4 Đưa tọa độ Oxyz vào bài toán hình học không gian thuần túy, bằng cách chọn hệ trục thuận lợn để giải toán. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 15.1: Cho hình bình hành ABCD với A(3;2;0) , B(3;3;1) , C(5;0;2) Tìm tọa độ đỉnh D và tính góc giữa hai vecto AC→ và BD→ Hướng dẫn giải Ta có BA(6;1;1),BC(2;3;1)→→ . Vì tọa độ của hai vecto đó không tỉ lệ nên ba điểm A,B,C không thẳng hàng. Gọi D(x,y,z) . Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi x32x1 ADBCy23y1 z1z1       →→ . Vậy D(1;1;1) Ta có AC(8;2;2),BD(4;4;0)→→ , do đó: 3281 cos(AC,BD) 272.32  →→ . Vậy o (AC,BD)120→→ Bài toán 15.2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;1),B(2;1;3),C(4,7,5) a) Tính diện tích và độ dài đường cao Ah b) Tính độ dài đường phân giác trong BD Hướng dẫn giải a) Ta có AB(1;3;4),AC(5;5;6),BC(6;8;2)→→→ AB,AC(38;26;10)  →→ Vậy 222 ABC 11 SAB,AC382610554 22   →→ ABC A 2S2554277 h BC10413 b) Gọi D(x;y;z) Ta có DABA261 DCBC2104 Vì D nằm giữa A, C nên 1 DADC 2→→ Từ đó tìm được 211274 D;;1DB 333     Bài toán 15.3: Tính diện tích tứ giá ABCD có tọa độ A(2;5;-4), B(1;6;3), C(-4;-1;12), D(-2;-3;-2) Hướng dẫn giải AB(1;1;7),AC(6;6;16)→→ , hai vecto này không cùng phương vì tọa độ không tỉ lệ suy ra A, B, C không thẳng hàng và có: DC(2;2;14)2ABABCD→→ ∥