Tiêu đề CHỦ ĐỀ 1. TỔNG QUAN VỀ ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

CHUYÊN ĐỀ 3. ĐƯỜNG TRÒN CHỦ ĐỀ 1: TỔNG QUAN VỀ ĐƯỜNG TRÒN Đường tròn Đường tròn tâm O , bán kính 0RR là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R . Kí hiệu: ;OR . Vị trí tương đối Cho đường tròn ;OR và điểm M .  M nằm trên đường tròn ;OR OMR .  M nằm ngoài đường tròn ;OR OMR .  M nằm trong đường tròn ;OR OMR . Cách xác định đường tròn Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Tính chất đối xứng  Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.  Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. Độ dài đường tròn và diện tích hình tròn Cho đường tròn có bán kính R và đường kính d .  Độ dài đường tròn (hay còn gọi là chu vi) được tính bằng công thức: 2CRd .  Độ dài cung tròn: Trên đường tròn bán kính R , độ dài l của một cung n được tính theo công thức: 180 Rn l  .  Diện tích hình tròn: 2SR .  Diện tích hình quạt tròn: Trên đường tròn bán kính R , cung n được tính theo công thức: 2 3602 RnlR S  (với l là độ dài cung n của hình quạt tròn). Đường kính và dây của đường tròn  Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.  Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: + Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. + Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây  Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.  Trong hai dây của một đường tròn: + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. 1. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho đường tròn có bán kính là 5 cm. Tính a) Chu vi và diện tích hình tròn. b) Độ dài cung 60 của một đường tròn có bán kính là 5 cm. c) Diện tích của hình quạt tròn có số đo cung là 30 . Giải chi tiết a) Chu vi hình tròn là: 22.510 cmCR . Diện tích hình tròn là: 222.525 cmSR . b) Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn với 60, 5 cmnR , ta có: .5.605cm 1801803 Rn l  . c) Diện tích hình quạt tròn có số đo cung là 30 là: 222.5.3025cm 36036012 Rn S  . Ví dụ 2: Tính chu vi của hình tròn có độ dài cung 30 là 5cm . Giải chi tiết Gọi R là bán kính đường tròn. Theo đề bài ra ta có: .30 530 cm 1806 RR R  . Chu vi hình tròn là: 22.3060 cmCR . Ví dụ 3: Biết diện tích cái bàn tròn là 264dm . Tính độ dài cung 45 của cái bàn tròn đó. Giải chi tiết Gọi R là bán kính đường tròn. Theo đề bài ra ta có: 264.8dmRR . Độ dài cung 45 của cái bàn đó là: 8.45 2 dm 180180 Rn l  . Ví dụ 4: Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông có cạnh bằng 5 cm. Giải chi tiết Đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm O là giao điểm hai đường chéo. Suy ra bán kính của nó là: 2222 5552 cm 2222 ACABBC R  . Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là: 2225225 cm 22SR     . Ví dụ 5: Một chiếc bánh pizza có đường kính là 40 cm. John nói với chủ quán là anh ta muốn ăn một miếng bánh có diện tích hình quạt tròn là 2100 cm . Bác đầu bếp bối rối không biết cắt như thế nào cho đúng, bạn hãy giúp bác đầu bếp để bác ấy có thể phục vụ vho John, anh ta đói lắm rồi. Giải chi tiết Để xác định nên cắt cái bánh như thế nào, ta sẽ xác định xem cần cắt cái bánh một góc bao nhiêu độ từ tâm của cái bánh. Bán kính của cái bánh pizza là: 40 20 cm 2R . Diện tích hình quạt tròn là 2 100 cm nên từ công thức 2 360 Rn S  .
Suy ra 22 .360100.360 90 .20 S n R   . Vậy bác đầu bếp cần cắt cái bánh từ tâm một góc 90 thì sẽ đúng yêu cầu của John. Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn Bài tập mẫu Ví dụ 1: Chứng minh các định lý sau: a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền. b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông. Giải chi tiết a) Giả sử tam giác ABC vuông tại A . Gọi O là trung điểm của BC . Suy ra 1 2OABCOBOC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông). Do đó, điểm O cách đều ba đỉnh ,,ABC hay O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. b) Giả sử đường tròn O đường kính BC ngoại tiếp tam giác. Ta có: OAOBOC (vì cùng là bán kính) 1 2OAOBOCBC . Mà OA là đường trung tuyến ứng với cạnh BC nên ABC vuông tại A . Nhận xét Nếu các tam giác vuông có chung cạnh huyền thì các đỉnh góc vuông của các tam giác vuông đó cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền chung đó. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , điểm D thuộc cạnh AB , điểm E thuộc cạnh AC . Gọi M , ,,NPQ lần lượt là trung điểm của ,,,DEDCBCBE . Chứng minh rằng bốn điểm ,,,MNPQ cùng thuộc một đường tròn. Phân tích đề bài Đề bài cho các trung điểm, ta nghĩ đến việc áp dụng tính chất đường trung bình để chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. Mà ABC vuông tại A nên ta sẽ đi chứng mính MNPQ là hình chữ nhật. Giải chi tiết Ta có: // 1 2 MNEC MNEC       (vì MN là đường trung bình của DEC ). Ta có: // 1 2 PQEC PQEC       (vì MN là đường trung bình của BEC ). Suy ra: //MNPQ MNPQ MNPQ     là hình bình hành. (1) Mặt khác //QMBD (do MQ là đường trung bình của BDE ) và  90QMNBAC (góc có cạnh tương ứng song song). (2) Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình chữ nhật. Các tam giác vuông QMN và QPN có chung cạnh huyền QN nên bốn điểm ,,,MNPQ cùng thuộc một đường tròn đường kính QN . Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD . Đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F . Chứng minh ,EF lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD .
Phân tích đề bài Để chứng minh điểm E là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì: + Hướng 1: Chứng minh ABC vuông là có E là trung điểm của cạnh huyền. + Hướng 2: Chứng minh E là giao điểm của các đường trung trực của ABC . Giả thiết cho ABCD là hình thoi nên khả năng ABC vuông sẽ không xảy ra. Lại có E thuộc đường trung trực của cạnh AB nên ta có thể chứng minh theo cách 2. Tương tự với chứng minh F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . Giải chi tiết Gọi OACBD . Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC và BDAC tại O . BD là đường trung trực của đoạn AC . Mà EF là đường trung trực của AB (theo giả thiết) và EFBDE . Suy ra E là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Chứng minh tương tự, ta cũng có F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . Ví dụ 4: Cho đường tròn O đường kính AB . Vẽ đường tròn I đường kính OA . Bán kính OC của đường tròn O cắt đường tròn I tại D . Vẽ CHAB . Chứng minh tứ giác ACDH là hình thang cân. Phân tích đề bài ACDH là hình thang cân ⇕  có OACOCA ACDH là hình thang ⇕ //DHAC ⇕ OHOD OAOC ⇕ OHOD ⇕ có OAOC ADOCHO Giải chi tiết Xét ADO và CHO có: 90ADOCHO (giả thiết).  AOD chung. OAOC (bán kính đường tròn O ). ADOCHO (cạnh huyền – góc nhọn) OHOD (hai cạnh tương ứng). //OHOD DHAC OAOC (định lí Ta-lét đảo) ACDH là hình thang. (1) Mà OACOCA (do AOC cân tại O ). (2) Từ (1) và (2) suy ra ACDH là hình thang cân. Dạng 3: Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O , bán kính bằng 5 cm và dây 8 cmAB . a) Tính khoảng cách từ O đến AB .