Tiêu đề TACH DE HSG 6 CHU DE 6 DONG DU THUC - PHAN 1.docx ✅

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 5 CHỦ ĐỀ: ĐỒNG DƯ THỨC A. PHẦN NỘI DUNG Dạng 1: Toán chứng minh chia hết Bài 1: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì 21202120203n⋮ . Trích đề HSG trường THCS Yên Phong năm 2021 - 2022 Lời giải Ta thấy: 20212mod3 212120212mod3nn Mặt khác: 2122.4nn mà: 41mod3 41mod3nn 2.42mod3n 2122mod3n nên 20201mod3 ; 2120212mod3n Vậy 21202120203n⋮ . Bài 2: Chứng tỏ: 515162S chia hết cho 33 . Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010 - 2011 Lời giải Có 515154225162S 201522155152.22 1552(21)152.3333⋮ Vậy S chia hết cho 33 . Bài 3: Chứng minh rằng: 2341013333 chia hết cho 120 . Trích đề HSG huyện Hằng Hoá năm 2014 -2015 Lời giải Ta có: 234101333 3 234567899899100101333333333333 123452349723433333333333333...3 1597 3.1203.1203.120 1597120.333120⋮ (đpcm). Bài 4: Cho ,pq là hai số nguyên tố lớn hơn 5 . Chứng minh rằng 442019pq chia hết cho 20 . Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2022 - 2023 Lời giải
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 5 Ta có 44444 12009202Apqpqq 422222020pqpqq Vì ,pq là hai số nguyên tố lớn hơn 5 nên ;5;51pq 22 ,1;4(mod5)pq Nếu 22(mod5)pq thì 220(mod5)pq 2242220200(mod5)Apqpqq ()1 Nếu 22,pq không cùng số dư khi chia cho 5 thì 22140(mod5)pq Vậy 0(mod5)A ()2 Từ ()1 và ()2 suy ra 5A⋮ ()* Mặt khác: ,5pq nên ,pq lẻ Suy ra 221(mod4)pq 22 0(mod4)pq 2242220200(mod4)Apqpqq Suy ra 4A⋮ ()** Từ ()* và ()** Suy ra 20A⋮ . Bài 5: Cho ,pq là hai số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng 442019pq chia hết cho 20. Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải 4444420192020Apqpqq 222242020pqpqq Vì ,pq là hai số nguyên tố lớn hơn 5 nên ,5,51pq 22 ,1,4(mod5)pq Nếu 22(mod5)pq thì 220(mod5)pq 2242220200(mod5)Apqpqq (1) Nếu 22,pq không cùng số dư khi chia cho 5 thì 22140(mod5)pq 0(mod5)A (2) Từ (1) và (2) suy ra 5A⋮ (*) Mặt khác: ,5pq nên ,pq lẻ 22 1(mod4)pq 22 0(mod4)pq
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 5 2242220200(mod4)Apqpqq 4A⋮ (**) Từ (*) (**) 20A⋮ Bài 6: Cho biết 4ab chia hết cho 13 ,.abℕ Chứng minh rằng 1013b⋮ Trích đề HSG huyện Lâm Thao, năm 2018- 2019 Lời giải 413104013103913 39131013 abababb bab   ⋮⋮⋮ ⋮⋮ Bài 7: Cho 2398991333.....33S a) Chứng minh rằng S là bội của 20 b) Tính S, từ đó suy ra 1003 chia cho 4 dư 1 Trích đề HSG huyện Vũ Thư, năm 2018- 2019 Lời giải a) Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng 239899 1333......33S 2345679697989913333333.....3333 496203.20......3.2020S⋮ 239899 )1333......33bS 23499100 33333.....33S 100 13 34 4SSS  100100 3143⋮ chia cho 4 dư 1. Bài 8: Chứng tỏ: 10181nAn chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên) Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải 10181101927nnAnnn 99.....9927 n nn 9.(11.....1)27 n nn  Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó 11.....19 n n⋮  nên 9.(11.....1)27 n n⋮  . Vậy 27A⋮ Dạng 2: Tìm số dư, chữ số tận cùng. Trắc nghiệm Bài 1: Chữ số tận cùng của 20182017 2111 là: A. 0 . B. 1 . C. 7 . D. 8 .
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 5 Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021 - 2022 Lời giải Đáp án: A. 0 . Tự luận Bài 1: Cho 013579...201920212023A .Tìm chữ số tận cùng của A . Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021 - 2022 Lời giải 013579...201920212023A Số số hạng của A là 10132.5061 013579...201920212023A 0(13)(57)(911)...2019(20212023) 022...2 02.5061012 Vậy số tận cùng của A là 2 . Bài 2: 1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 199957 b) 199993 2) Cho 19991997999993555557A . Chứng minh rằng A chia hết cho 5 Trích đề HSG cấp trường năm 2019-2020 Lời giải 1) a) Ta có: 49919994349977.72401.343 nên chữ số tận cùng là 3 . Vậy số 199957 có chữ số tận cùng là 3 b) 49919994349933.381.27 nên có chữ số tận cùng là 7 2) Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng Theo câu 1b, 1999999993 có chữ số tận cùng là 7 Tương tự câu 1a, ta có: 49944997.72401.7 có chữ số tận cùng là 7 Vậy A có chữ số tận cùng là 0 , nên A chia hết cho 5 . Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau : a) 201157 . b) 199993 . Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2020 -2021 Lời giải a) Tìm chữ số tận cùng của số 201157 Xét 2011 7 ; ta có: 50220114350277.72401.343