Tiêu đề 002 جبر المصفوفات.pdf ✅

اجلرب اخلطي اجللسة الثانية ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- أ.د. 1 معاذ عبد المجيد 23S جرب املصفوفات Algebra Matrix -1 المستقيم والمستوي ) ن تابع أوال،ً ما تبقى من درس األشعة والهندسة( -2 تعريف مصفوف ة -3 العمليات على المصفوفات Lines and Planes واملستوي املستقيم 3 كما هو المستقيم في المستوي سوف نتعرف على المستقيم في الفضاء R . �� المستقيمات في R : المعادلة العامة للمستقيم في المستوي xy هي �� = �b� + �a�. إذا كان 0 =/ �� فان هذه المعادلة تكتب بالشكل y = − ( a b ) x + c b أو �� + �m� = �� حيث m ميل المستقيم والنقطة (k0, (نقطة تقاطع المستقيم مع محور .)y-intercept( العينات وعموما تُحدّد معادلة المستقيم بمعرفة نقطة ثابته وشعاع يوازي المستقيم ونحصل على المعادلة الشعاعية ،ً والمعادالت الوسيطية أو بمعرفة نقطة ثابته وشعاع يعامد المستقيم ونحصل على المعادلة الناظمية والمعادلة العامة. الشكل 1 الشكل 2 �� المعادلة الناظمية والمعادلة العامة للمستقيم في R : ليكن ] = ⃗�� a b شعاع يُعامد المستقيم l( يسمى ناظم المستقيم( وP( أو الشعاع ] = �� 0⃗ =/ [ x0 y0 [ ( نقطة مثبّتة على هذا المستقيم. ولتكن X( أو الشعاع ] = �� x y [ ( نقطة متحركة على هذا المستقيم، من الشكل ،2 �� − �� = ⃗⃗⃗⃗⃗ ، فإن . ولما كان �P� ⃗⃗⃗⃗⃗ نالحظ أن �P� ⊥ ⃗�� n⃗ ∙ PX⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⇒ n⃗ ∙ (x − p ) = 0 ⇒ n⃗ ∙ x − n⃗ ∙ p = 0 ⇒ n⃗ ∙ x = n⃗ ∙ p 2 وتسمى هذه المعادلة الشكل الناظمي لمعادلة المستقيم l في R . وبإنجاز عملية الجداء نجد المعادلة العامة )equation general )للمستقيم : �� = �b� + �a�، حيث إن n⃗ = [ a b [ ناظم المستقيم l :
اجلرب اخلطي اجللسة الثانية ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- أ.د. 2 معاذ عبد المجيد 23S n⃗ ∙ x = n⃗ ∙ p ⇒ [ a b ] ∙ [ x y ] = [ a b ] ∙ [ x0 y0 ] ⇒ ax + by = ax0 + by0 = c �� مثال :1 أوجد المعادلة الناظمية والمعادلة العامة للمستقيم في R المار بالنقطة (1,3) = �� والمعامد للشعاع . n⃗ = [2,1] الحل: ناظم المستقيم هو [2,1] = ⃗�� ، المعادلة الناظمية: n⃗ ∙ x = [ 2 1 ] ∙ [ x y ] = [ 2 1 ] ∙ [ 1 3 ] = 5 وبإنجاز عملية الجداء نجد المعادلة العامة للمستقيم 5 = �� + ��.2 �� المعادلة الشعاعية والمعادالت الوسيطية للمستقيم في R : ليكن �� = [ d1 d2 شعاع يُوازي المستقيم l( يسمى منحى المستقيم( و P( أو الشعاع ] = �� 0⃗ =/ [ x0 y0 [ ( نقطة مثبّتة على هذا المستقيم. ولتكن X( أو الشعاع ] = �� x y [ ( نقطة متحركة على هذا المستقيم، . ومنه، ⃗⃗⃗⃗⃗�P�// واضح أن �� PX⃗⃗⃗⃗⃗ = x − p = td ⇒ x = td + p ; t ∈ R 2 وتسمى هذه المعادلة الشكل الشعاعي لمعادلة المستقيم l في R . وبإسقاط هذه المعادلة على المحاور االحداثية نجد المعادالت الوسيطية للمستقيم: [ x y ] = [ x0 y0 ] + t[ d1 d2 ] ; t ∈ R أو {x = x0 + td1 , y = y0 + td2 } ; t ∈ R ويسمى المتحول t وسيط (parameter(. 3 مالحظة: يمكن تعميم هذه المفاهيم من أجل المستقيم في R . ويمكن التأكد من أن المعادلة الشعاعية والمعادالت الوسيطية تعمم بسهولة أما بقية أشكال معادالت المستقيم ال يمكن أن تعمم بسهولة. 3 وفي R 2 نتيجة : الشكل الشعاعي لمعادلة المستقيم l في R هي x = p + td ; t ∈ R حيث �� نقطة مثبّته على المستقيم، و 0⃗ =/ �� شعاع توجيه هذا المستقيم. ونسمي المعادالت الناتجة عن المساواة بين المر ّكبات المعادالت الوسيطية للمستقيم l. {x = x0 + td1 , y = y0 + td2 , z = z0 + td3 } ; t ∈ R
اجلرب اخلطي اجللسة الثانية ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- أ.د. 3 معاذ عبد المجيد 23S �� مثال :2 أوجد المعادلة الشعاعية والمعادالت الوسيطية للمستقيم في R المار بالنقطة (1,5,2) = �� والموازي . للشعاع �� = [4,3,7] الحل: ان المعادلة الشعاعية للمستقيم x = p + td ⇒ [ x y z ] = [ 1 5 2 ] + t[ 4 3 7 ] ; t ∈ R والمعادالت الوسيطية للمستقيم {x = 1 + 4t , y = 5 + 3t , z = 2 + 7t} ; t ∈ R مالحظات: - إن المعادلة الشعاعية والمعادالت الوسيطية للمستقيم l ليست وحيدة، ألنه يوجد عدد غير منت ِه من النقاط على المستقيم التي يمكن اعتبارها نقطة مثبّتة على المستقيم. مع أن جميع أشعة توجيه المستقيم هي مضاعف سلمي ألحدها. شعاع توجيه آخر في المثال 2 نختار نقطة أخرى (6,1,2) على هذا المستقيم )من اجل 1 = ��(، والشعاع �� = [10, −2,6] للمستقيم. وتكون المعادلة الشعاعية للمستقيم [ x y z ] = [ 6 1 2 ] + s [ 10 −2 6 ] ويمكن إيجاد العالقة بين الوسيطين t و s بالمقارنة بين المعادالت الوسيطية الناتجة عن كل من المعادلتين الشعاعيتين السابقتين: x = 1 + 5t = 6 + 10s ⇒ 5t − 10s = 5 y = 2 − t = 1 − 2s ⇒ t − 2s = 1 z = −1 + 3t = 2 + 6s ⇒ 3t − 6s = 3 } ⇒ t = 1 + 2s
اجلرب اخلطي اجللسة الثانية ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- أ.د. 4 معاذ عبد المجيد 23S - بالحدس نعلم أن المستقيم هو كائن وحيد البعد )سيمر مفهوم البعد معنا الحقاً(. ولكن عدد األبعاد يعني هنا أن معادلة المستقيم الشعاعية تعطى بداللة وسيط واحد. �� المستوي في R : تُحدّد معادلة المستوي �� بمعرفة نقطة ثابته وشعاع يعامد المستوي ونحصل على المعادلة الناظمية والمعادلة العامة أو بمعرفة نقطة ثابته وشعاع ين غير متوازيين يوازيان المستوي ونحصل على المعادلة الشعاعية والمعادالت الوسيطية. 3 المعادلة الناظمية والمعادلة العامة للمستوي �� في R : يتعين المستوي �� في R 3 0�� 0,�� 0,��] = ��( نقطة مثبّتة على هذا بمعرفة نقطة مثبّتة عليه P( أو الشعاع [ يسمى ناظم المستوي )الشكل 4(. إذا كانت X( أو الشعاع ⃗ المستقيم، وشعاع عمودي عليه 0 =/ [�� ,�� ,��] = ⃗�� [�� ,�� ,��] = ��( نقطة متحركة على هذا المستوي، فإن: n⃗ ⊥ PX⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ n⃗ ∙ PX⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⇒ n⃗ ∙ (x − p ) = 0 ⇒ n⃗ ∙ x − n⃗ ∙ p = 0 ⇒ n⃗ ∙ x = n⃗ ∙ p وبإنجاز عملية الجداء نجد المعادلة العامة للمستوي ��، حيث [�� ,�� ,��] = �� و [�� ,�� ,��] = ⃗��، فإن معادلة المستوي تصبح �� = �c� + �b� + �a�، حيث �� ∙ ⃗�� = ��. الشكل 3 الشكل 4 إذا كان 0 = �� في المعادلة العامة فإن هذه المعادلة تمثل مستوي مار بـ O. مثال :3 أوجد الشكل الناظمي والعام لمعادلة مستوي مار بالنقطة (6,0,1) = �� ويعامد الشعاع .n⃗ = [1,2,3] الحل: نحسب 9 = 1 ∙ 3 + 0 ∙ 2 + 6 ∙ 1 = �� ∙ ⃗�� = �� وعليه فإن الشكل الناظمي لمعادلة هذا المستوي هي 9 = �� ∙ ⃗�� والعامة هي 9 = ��3 + ��2 + ��. واضح هندسيا أن المستويات المتوازية لها نفس الشعاع الناظم. أي أن األطراف اليسرى للمعادلة العامة لنفس المستوي ناتجة بعضها عن بعض بالضرب بعدد. وعليه فان المعادلة 10 = ��6 + ��4 + ��2 هي المعادلة العامة لمستوي يوازي المستوي الوارد في المثال السابق. إذا أعدنا كتابة المعادلة السابقة بالشكل 5 = ��3 + ��2 + �� نالحظ ان الطرف االيمن لهذه المعادلة يختلف عن الطرف االيمن لمعادلة المستوي في المثال السابق. اي ان المستويان غير طبوقان. 3 الشكل الشعاعي والوسيطي لمعادلة المستوي �� في R : يتعين المستوي، أيضا P( أي الشعاع ��( وشعا َعي توجيه للمستوي �� و ⃗�� وهما ،ً بمعرفة نقطة مثبته عليه شعاعان يوازيان المستوي وغير متوازيان )الشكل 5(. لتكن X نقطة متحركة على المستوي )أي الشعاع ��(، قطر لمتوازي أضالع منشأ على الشعاعين �� و ⃗��. أي أنه يمكن دائما ايجاد مضاعفات سلمية �t� ⃗⃗⃗⃗⃗ بفرض �P� و ⃗�s� بحيث يكون ⃗⃗⃗⃗⃗�P� قطر لمتوازي األضالع، ومنه، فإن �t� + ⃗�s� = �� − �� = ⃗⃗⃗⃗⃗�P� او x = p + su⃗ + tv ; t, s ∈ R