Tiêu đề 10 bài TLN - Bài 03_Dạng 01. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.pdf ✅

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b Ta đã biết, nếu hàm số y f x =   liên tục và không âm trên đoạn a b;  thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x =   , trục hoành và hai đường thẳng x a x b = = , được tính bởi:  d b a S f x x = ò Một cách tổng quát, ta có kết quả sau: Cho hàm số y f x =   liên tục trên đoạn a b; . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x =   , trục hoành và hai đường thẳng x a x b = = , được tính bởi công thức:   d b a S f x x = ò Chú ý: Giả sử hàm số y f x =   liên tục trên đoạn a b; . Nếu f x  không đổi dấu trên đoạn a b;  thì:   d d   b b a a f x x f x x = ò ò Nếu phương trình f x  = 0 không có nghiệm trên khoảng a b;  thì công thức trên vẫn đúng. BÀI 03 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1 Tính diện tích hình phẳng
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b Cho hai hàm số y f x =   và y g x =   liên tục trên đoạn a b; . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trên và hai đường thẳng x a x b = = , . Xét trường hợp f x g x   3   với mọi x a b Î ; . Kí hiệu 1 2 S S, là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng x a x b = = , và đồ thị của hàm số y f x y g x = =  ,   tương ứng. Khi đó: 1 2  d d d       b b b a a a S S S f x x g x x f x g x x = - = - = - é ù ò ò òë û Trong trường hợp tổng quát, ta có kết quả sau: Cho hai hàm số y f x y g x = =  ,   liên tục trên đoạn a b; . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y f x y g x = =  ,   và hai đường thẳng x a x b = = , được tính bởi công thức:     d b a S f x g x x = - ò
Trong không gian, cho một vật thể nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng P và Q cùng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b . Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x với a x b £ £  cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích S x  . Khi đó, nếu S x  là hàm số liên tục trên a b;  thì thể tích của vật thể được tính bằng công thức:  d b a V S x x = ò Chú ý: Nếu S x S   = không đổi với mỗi x a b Î ;  thì V b a S = -   . Thể tích khối tròn xoay Cho y f x =   là hàm số liên tục và không âm trên đoạn a b; . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x =   , trục hoành và hai đường thẳng x a x b = = , . Quay D xung quanh trục Ox ta được một hình khối gọi là khối tròn xoay. Cắt khối tròn xoay trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x với x a b Î ; , ta được mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng f x  và diện tích là     2 S x f x = p . Vậy khối tròn xoay có thể tích là:   2 d b a V f x x = p ò 2 Tính thể tích hình khối
Dạng 1: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b Diện tích hình phẳng giới hạn:     d ; b a y f x Ox S f x x x a x b ì = ï í ® = ï = = î ò . Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: Bước 1: Giải f x  = 0 tìm nghiệm x x x a b 1 2 , ,..., ; n Î  a x x x b < < < < < 1 2 ... n . Bước 2: Tính       1 2 1 d d ... d n x x b a x x S f x x f x x f x x = + + + ò ò ò       1 2 1 d d ... d n x x b a x x = + + + f x x f x x f x x ò ò ò Chú ý: Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b Diện tích hình phẳng giới hạn:         d ; b a y f x y g x S f x g x x x a x b ì = ï í = ® = - ï = = î ò . Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: Bước 1: Giải f x g x   =   tìm nghiệm x x x a b 1 2 , ,..., ; n Î  a x x x b < < < < < 1 2 ... n . Bước 2: Tính             1 2 1 d d ... d n x x b a x x S f x g x x f x g x x f x g x x = - + - + + - ò ò ò                1 2 1 d d ... d n x x b a x x = - + - + + - f x g x x f x g x x f x g x x ò ò ò Chú ý: Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 1: Tìm a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi   2 2 : , 1 x x P y x- = - đường thẳng d y x : 1 = - và x a = , x a = 2 ( 1) a > bằng ln3 ? Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 2 2 3 1 x x y x - + = - ; y x = và hai đường thẳng x x 2; 3 bằng S a b = + ln 2 . Giá trị của a b + bằng bao nhiêu? Câu 3: Cho hàm số y f x =   . Đồ thị hàm số y f x = ¢  là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là 4 A S = và 10 B S = . Tính giá trị của f 3 , biết giá trị của f 0 2  = . B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN