Tiêu đề Bài 01_Dạng 01. Lý thuyết và xác định, chứng minh đẳng thức, độ dài vectơ_GV.pdf ✅

Chương 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB . Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là a b x y , , , , Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là AB , độ dài của vectơ a được kí hiệu là a Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (Hình 1). Hình 1. Đường thẳng d là giá của vectơ a Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a b  , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: 2 VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 01 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1 Vectơ trong không gian
Chương 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OM a  Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA BB , , gọi là các vectơ-không. Ta quy ước vectơ không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 . a) Tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm O bất kì và các điểm A , B sao cho OA a  và AB b  . Khi đó, vectơ OB được gọi là tổng của hai vectơ a và b , ký hiệu là a b  . Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Nhận xét: Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian: Quy tắc ba điểm: Nếu A B C , , là ba điểm bất kì thì AB BC AC   Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC   Quy tắc hình hộp chữ nhật: Cho hình hộp ABCD A B C D .     . Ta có AB AD AA AC     . Hệ thức tương tự: BA BC BB BD     Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau: 2 Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
Chương 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Tính chất giao hoán: Nếu a và b là hai vectơ bất kì thì a b b a    . Tính chất kết hợp: Nếu a b, và c là ba vectơ bất ki thì a b c a b c        . Tính chất cộng với vectơ 0 : Nếu a là một vectơ bất kì thì a a a     0 0 . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ a b, và c là a b c   mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian. b) Hiệu của hai vectơ trong không gian Vectơ đối: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a được gọi là vectơ đối của vectơ a Vectơ đối của a kí hiệu là a Vectơ đối của AB là BA , nghĩa là   AB BA (dùng để làm mất dấu trừ trước vectơ) Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó Định nghĩa: Trong không gian, cho hai vectơ a , b . Ta gọi a b    là hiệu của hai vectơ a và b và kí hiệu là a b  . Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. Nhận xét: Với ba điểm O A B , , bất kì trong không gian thì ta có OB OA AB   . Hai vectơ a và b đối nhau thì a b   0 Trong không gian, tích của một số thực k  0 với một vectơ a  0 là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau: Cùng hướng với vectơ a nếu k  0 ; ngược hướng với vectơ a nếu k  0 Có độ dài bằng k a. . Phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ. Chú ý: Quy ước ka  0 nếu k  0 hoặc a  0. Nếu ka  0 thì k  0 hoặc a  0. 3 Tích của một số với một vectơ trong không gian
Chương 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ a a và b b  0 cùng phương là có một số thực k sao cho a kb  . Hệ thức trung điểm, trọng tâm:  Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì IA IB   0 ; IA IB   ; 1 2 AI AB  ;...  Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA GB GC    0 ; 2 3 GA AK   ; GA GK  2 ;... Nhận xét:  Với hai vectơ a và b bất kỳ, với mọi số h và k , ta luôn có:     k a b ka kb       h k a ha ka    h ka hk a       1.a a      1 . a a 0 . 0 0 a k a k          Hai vectơ a và b ( b khác 0 ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a k b  .  Ba điểm phân biệt A B C , , thẳng hàng khi và chỉ khi có số k  0 sao cho AB k AC  Góc giữa hai vectơ Trong không gian, cho hai vectơ u v, khác 0 . Lấy một điểm A bất kì và gọi B C, là hai điểm sao cho AB   u C v , A . Khi đó, góc BAC BAC 0 180      được gọi là góc giữa hai vectơ u và v , kí hiệu là u v,  .  Nếu u cùng hướng với v thì u v, 0    ; ngược hướng thì u v, 180    ; vuông góc thì u v, 90    Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: Trong không gian, cho hai vectơ u v, khác 0 . Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu là uv. , được xác định bởi công thức: u v u v u v . . .cos ,   .  Trong trường hợp u  0 hoặc v  0 ta quy ước uv. 0   2 2 2 2 u u u u u u u . ; 0; 0 0        Với hai vectơ u v, khác 0 , ta có   . cos , . u v u v u v  4 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian