Tiêu đề Chương 7_Bài 3_ _Đề bài_Toán 9_CD.pdf ✅

BÀI 3. ĐỊNH LÝ VIÉTE A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định lý Viéte Định lý: Nếu 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình 2 ax bx c a + + =  0( 0) thì 1 2 1 2 ; b c x x x x a a + = − = Ví dụ 1. Cho phương trình 2 5 7 3 0 x x − − = . a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, . b) Tính 1 2 1 2 x x x x + ; . Chứng minh cả hai nghiệm 1 2 x x, đều khác 0 . c) Tính 1 2 1 1 x x + . Lời giải a) Phương trình có các hệ số a b c = = − = − 5, 7, 3 và ( ) ( ) 2  = − − − =  7 4.5. 3 109 0 . Vì  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, . b) Theo định lí Viète, ta có: 1 2 1 2 ( 7) 7 3 ; . 5 5 5 x x x x − − + = − = = 1 2 1 2 3 Vì 0 nên 0 và 0. 5 x x x x − =    c) Ta có: 1 2 1 2 1 2 7 1 1 7 5 3 3 5 x x x x x x + − + = = = − . Ví dụ 2. Cho phương trình 2 3 4 1 0 x x − + = . a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính abc + + . b) Chứng tỏ 1 x =1 là một nghiệm của phương trình. c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm 2 x còn lại của phương trình. Lời giải a) Phương trình có các hệ số a b c = = − = 3, 4, 1 . Do đó abc + + = + − + = 3 4 1 0 ( ) . b) Ta thấy: 2 3.1 4.1 1 0 − + = nên 1 x =1 là một nghiệm của phương trình. c) Theo định lí Viète, ta có: 1 2 1 3 x x = . Do 1 x =1 nên 2 1 1 3  = x suy ra 2 1 3 x = . Ví dụ 3. Cho phương trình 2 2 5 3 0 x x + + = . a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a b c − + . b) Chứng tỏ 1 x = −1 là một nghiệm của phương trình. c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm 2 x còn lại của phương trình. Lời giải
a) Phương trình có các hệ số a b c = = = 2, 5, 3 . Do đó a b c − + = − + = 2 5 3 0. b) Ta thấy: ( ) ( ) 2 2. 1 5. 1 3 0 − + − + = nên 1 x = −1 là một nghiệm của phương trình. c) Theo định lí Viète, ta có: 1 2 3 2 x x = . Do 1 x = −1 nên ( ) 2 3 1 . 2 − = x suy ra 2 3 2 x = − . Nhận xét - Nếu phương trình 2 ax bx c a + + =  0( 0) có abc + + = 0 thì phương trình có một nghiệm là 1 x =1 và nghiệm còn lại là 2 c x a = . - Nếu phương trình 2 ax bx c a + + =  0( 0) có a b c − + = 0 thì phương trình có một nghiệm là 1 x = −1 và nghiệm còn lại là 2 c x a = − . Ví dụ 4. Không tính  , giải phương trình ( ) 2 3 2 3 2 0 x x + − − = Lời giải Phương trình có các hệ số a b c = = − = − 3, 2 3, 2 . Ta thấy: abc + + = + − + − = 3 2 3 2 0 ( ) ( ) . Do đó phương trình có nghiệm 1 x =1 và 2 2 2 3 3 3 x − − = = . Ví dụ 5. Không tính  , giải phương trình ( ) 2 2 1 2 1 0 x x + + + = Lời giải Phương trình có các hệ số a b c = = + = 2, 1 2, 1 . Ta thấy: a b c − + = − + + = 2 1 2 1 0 ( ) . Do đó, phương trình có nghiệm 1 x = −1 và 2 1 2 2 2 x − = − = . 2. Tìm hai số khi biết tổng và tích Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình 2 x Sx P − + = 0 Chú ý: Điều kiện để có hai số đó là 2 S P −  4 0 . Ví dụ 6. Cho hai số có tổng bằng −2 và tích bằng −8. a) Lập phương trình bậc hai ẩn x nhận hai số trên làm nghiệm. b) Tìm hai số đó. Lời giải a) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình: ( ) ( ) 2 2 x x x x − − + − = + − = 2 8 0 hay 2 8 0 b) Phương trình (1) có các hệ số a b c = = = − 1, 2, 8 . Do b = 2 nên b 1  = . Ta có: ( ) 2  = − − =   1 1. 8 9 0 .
Do   0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: 1 2 1 9 1 9 2; 4. 1 1 x x − + − − = = = = − Vậy hai số cần tìm là 2 và −4 . B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số 1. Phương pháp giải Tính  và chứng tỏ  0 để phương trình có nghiệm. Áp dụng định lý Vi-ét: 1 2 1 2 ; . . b c S x x P x x a a = + = − = = 2. Ví dụ Ví dụ 1. Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...): a) 2 1 2 1 2 2 – 17 1 0; ; ; . ; x x x x x x + =  =  + =  =  2 1 2 1 2 b x x x x x x )5 35 0; ; ; . ; − − =   =  + = =  2 1 2 1 2 c x x x x x x )8 1 0; ; ; . ; − + =   =  + = =  2 1 2 1 2 d x x x x x x )25 1 0; ; ; . . +10 + =   =  + = =  Ví dụ 2. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau: 2 2 2 2 4 2 – 5 0; 9 – 12 4 0; 5 2 0; 1 59 – 2 – 1 0. ) ) ) ) x x x x x x x x + = + = + + = = a b c d Ví dụ 3. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m. ( ) 2 2 2 a b ) ) – 2 0; 2 – 1 0. x x m x m x m + = + + = Dạng 2. Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm 1. Phương pháp giải Áp dụng định lý Vi-ét: 1 2 1 2 ; . . b c S x x P x x a a = + = − = = Nhẩm: 1 2 1 2 S x x m n P x x m n = + = + = = ; . . . thì phương trình có nghiệm 1 2 x m x n = = ; . Nếu abc + + = 0 thì 1 2 1; . c x x a = = Nếu a b c − + = 0 thì 1 2 1; . c x x a = − = − 2. Ví dụ Ví dụ 1. Dùng điều kiện abc 0 + + = hoặc a b c – 0 + = để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
2 a x x ) 35 – 37 2 0; + = 2 b x x ) 7 500 – 507 0; + = 2 c x x ) – 49 – 50 0; = 2 d x x ) 4321 21 – 4300 0 + = Ví dụ 2. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình. 2 2 a x x b x x ) 7 12 0 ) 7 12 0 − + = + + = . Ví dụ 3. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình: a) 1,5 2 1,6 0,1 0 x x − + = ( ) 2 b x x ) 3 1 3 1 0 − − − = ( ) ( ) 2 c x x ) 2 3 2 3 2 3 0; − + − + = ( ) ( ) 2 d m x m x m ) 1 2 3 4 0 − − + + + = với m 1. Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. 1. Phương pháp giải Từ hệ thức cho trước của x y, tìm tổng S x y = + , tích P x y = . . x y, là hai nghiệm của phương trình 2 X SX P − + = 0. 2. Ví dụ Ví dụ 1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: 32, . 231; 8; . 105; 2; . 9. ) ) ) u v u v u v u v u v u v + = = + = − = − + = = a b c Ví dụ 2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a u v u v ) 42, . 441 + = = b u v u v ) 42; . 400 + = − = − c u v u v ) 5; . 24 − = = Dạng 4. Phân tích 2 ax bx c + + thành nhân tử 1. Phương pháp giải Nếu phương trình 2 ax bx c + + = 0 có hai nghiệm 1 2 x x ; thì ( )( ) 2 1 2 ax bx c a x x x x + + = − − 2. Ví dụ Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) 2 2 5 3 x x − + ; b) 2 3 8 2 x x + + . Ví dụ 2. Rút gọn phân thức: 2 2 9 8 2 3 1 x x P x x − + = − + Ví dụ 3. Rút gọn phân thức: 1 5 6 x P x x − = − + Dạng 5. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó 1. Phương pháp giải Tính tổng hai nghiệm 1 2 S x x = + và tích hai nghiệm P x x = +1 2 .