Tiêu đề Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 12 - KHỐI ĐA DIỆN VÀ LĂNG TRỤ.doc ✅

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 12: KHỐI ĐA DIỆN VÀ LĂNG TRỤ 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Khối đa diện  Hình đa diện gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện: (1) Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung. (2) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.  Hình đa diện chia không gian làm hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Hình đa diện cùng với phần bên trong của nó gọi là khối đa diện. Khối đa diện đều Khối đa diện đều loại {n, p} khi mỗi mặt là đa giác đều n cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh. Có 5 loại khối đa diện đều: Khối tứ diện đều là loại {3; 3}; khối bát diện đều là loại {3; 4}; khối lập phương là loại {4; 3}; khối 20 mặt đều là loại {3; 5} và khối 12 mặt đều là loại {5;3}. Hình lăng trụ: Có 2 đáy song song bằng nhau và các cạnh bên song song bằng nhau. Ta thường phân loại theo đa giác đáy: lăng trụ tam giác, tứ giác...  Lăng trụ đứng khi cạnh bên vuông góc với đáy.  Lăng trụ đều là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều.  Thể tích khối lăng trụ: .VBh Hình hộp: Là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành. Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành, 4 đường chéo đồng qui tại tâm hình hộp.  Hình hộp chữ nhật: hộp đứng và có đáy là hình chữ nhật. Gọi a, b, c là 3 kích thước thì có đường chéo: 222dabc , diện tích toàn phần: 2Sabbcca và thể tích khối hộp chữ nhật: Vabc .  Hình lập phương: hình hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng nhau. Chú ý: 1) Thể tích khối chóp: 1 . 3VBh 2) Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hay chứng minh bất đẳng thức ta có thể dùng vectơ, bất đẳng thức Cauchy hoặc dùng đạo hàm. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 12.1: Cho khối đa diện lồi. Chứng minh rằng: a) Số góc của tất cả các mặt là số chẵn. b) Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh và là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. Hướng dẫn giải a) Gọi số góc là G và số cạnh khối đa diện là C. Trong mỗi mặt là đa giác thì số góc bằng số cạnh, mà số cạnh được tính 2 lần nên G = 2C, do đó G chẵn.
Trang 2 b) Ta dùng phản chứng. Nếu xuất phát từ một đỉnh nào đó chỉ có hai cạnh thì mỗi cạnh như thế là cạnh của chỉ một đa giác, trái với điều kiện trong định nghĩa của hình đa diện. Vậy mỗi đỉnh phải là đỉnh chung của ít nhất là ba cạnh, và vì vậy nó cũng phải là đỉnh chung của ba mặt. Bài toán 12.2: Cho khối đa diện lồi. Chứng minh rằng: a) Không tồn tại khối đa diện có một số lẻ mặt và mỗi mặt lại có một số lẻ cạnh. b) Tổng số đo các góc của các mặt là 2TCM . Hướng dẫn giải a) Giả sử tồn tại khối đa diện có số mặt là M lẻ và mỗi mặt chứa số lẻ cạnh C i , 1,2,...iM . Ta có số góc của khối đa diện: 12...MGCCC G lẻ; vô lý. Vậy không tồn tại khối đa diện thỏa đề bài. b) Gọi C i là số cạnh của mặt thứ i, 1,2,...,iM Ta có  11 22222 MM ii ii TCCMCMCM      . Bài toán 12.3: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4, 6, 8, 10. Hướng dẫn giải Gọi số cạnh của khối đa diện là C, số mặt là M. Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh lại chung cho hai mặt nên 32MC . Suy ra M là số chẵn. Sau đây là một số khối đa diện số các mặt tam giác là 4, 6, 8, 10. Bài toán 12.4: Chứng minh đặc số Ơ-le của khối đa diện lồi: Đối với mỗi khối đa diện lồi H, ta kí hiệu Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt của H thì đặc số H Đ – C + M = 2. Suy ra: không tồn tại khối đa diện lồi có 7 cạnh. Hướng dẫn giải Ta chứng minh quy nạp theo số đỉnh Đ 4 . Khi Đ = 4 thì khối đa diện là tứ diện có Đ = 4, C = 6, M = 4 nên Đ – C + M = 4 – 6 + 4 = 2: đúng. Giả sử khẳng định đúng với số đỉnh Đ: Đ – C + M = 2. Xét khối đa diện có Đ’ = Đ + 1 đỉnh. Gọi A là một đỉnh và mặt 12...nAAA là một mặt của khối đa diện sao cho mặt phẳng chứa mặt này chia không gian làm 2 phần, một phần chứa đỉnh A và phần kia chứa khối đa diện lồi có Đ đỉnh còn lại, ta có Đ – C + M = 2. Số đỉnh Đ’ = Đ + 1, số cạnh C’ = C + n, số mặt M’ = M + n – 1 Do đó: Đ’ – C’ + M’ = (Đ+1) – (C+n) + (M+n–1) = Đ – C + M = 2 Vậy H Đ – C + M = 2. Cách khác: Dùng phép chiếu từ một điểm S không thuộc bất kỳ mặt nào, mặt đi qua 3 đỉnh nào của khối đa diện. Giả sử tồn tại khối đa diện lồi có 7C . Ta có đặc số Ơ-le: Đ – C + M = 2 nên Đ + M = 9 Vì Đ 4 , M 4 nên hoặc Đ = 4, M = 5 hoặc Đ = 5, M = 4. Với Đ = 4 thì khối đa diện lồi là tứ diện: loại.
Trang 3 Với M = 4 thì khối đa diện lồi là tứ diện: loại Vậy không tồn tại khối đa diện lồi có 7 cạnh. Bài 12. 5: Chứng minh tâm các mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương. Hướng dẫn giải Cho khối tám mặt đều SABCDS’. Gọi M, N, P, Q, M’, N’, P’, Q’ lần lượt là trọng tâm của các mặt SAB, SBC, SCD, SAD, S’AB, S’BC, S’CD, S’DA thì các tứ giác MNPQ, M’N’P’Q’, MNN’M’, PQQ’P’, NPP’N’, MQQ’M’ đều là hình vuông. Mỗi đỉnh M, N, P, Q, M’, N’, P’, Q’ đều là đỉnh chung của 3 cạnh. Vậy MNPQ.M’N’P’Q’ là khối lập phương. Bài toán 12.6: Cho một khối tứ diện đều. Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều. Hướng dẫn giải Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AC, BD, AD, BC của khối tứ diện đều ABCD. Khi đó, tam giác MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NSP là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là M, N, P, Q, R, S mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của bốn cạnh. Vậy đó là khối tám mặt đều. Bài toán 12.7: Hãy phân chia: a) Một khối hộp thành năm khối tứ diện. b) Một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng. Hướng dẫn giải a) Có thể phân chia khối hộp ABCD.A’B’C’D’ thành năm khối tứ diện sau đây: ABDA’, CBDC’, B’A’C’B, D’A’C’D, BDA’C’. b) Cho khối tứ diện ABCD. Lấy điểm M nằm giữa A và B, điểm N nằm giữa C và D. Bằng hai mặt phẳng (MCD) và (NAB), ta chia khối tứ diện đã cho thành bốn khối tứ diện: AMCN, AMND, BMCN, BMND. Bài toán 12.8: Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Hướng dẫn giải Gọi 12...nAAA là đáy của khối lăng trụ đều và O là tâm của đa giác đều 12...nAAA . Hạ 12ONAA . Ta có:  11cotcot 2 a ONANNOA n   Do đó diện tích đáy của khối lăng trụ đều là:
Trang 4 12 2 12 11 ....cot 24OAASnSnAAONna n   Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đều nên chiều cao của nó bằng cạnh bên: ha . Vậy thể tích của khối lăng trụ là 31 ..cot 4VShna n   . Bài toán 12.9: Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a. Hướng dẫn giải Giả sử có khối tám mặt đều với các đỉnh là S, S’, A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng MN là một cạnh của khối lập phương. Gọi M’, N’ lần lượt là trung điểm của AB và BC thì M và N lần lượt nằm trên SM’ và SN’ nên: 222 '' 3323 ACa MNMN Vậy thể tích của khối lập phương là: 3 322 27 a VMN (đvtt). Bài toán 12.10: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với 3,7ABAD . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45 0 và 60 0 . Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. Hướng dẫn giải Hạ ',,AHABCDHMADHKAB Ta có: ','ADAMABAK 00 '60,'45AMHAKH Đặt 'AHx . Khi đó: 02 ':sin60 3 x AMx 2 2234 '' 3 x AMAAAMHK  Mà 0cot45HKxx nên 2 343 37 x xx  Vậy .'''' 3 ..7.3.3 7ABCDABCDVADABx . Bài toán 12.11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính: a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. b) Khoảng cách từ A đến mp(A’BD) và khoảng cách từ A’, B, C, D’ đến đường thẳng AC’. Hướng dẫn giải a) 3 .''' 111 .'...3.3 224ABCABCABCVSAAaaaa (đvtt).