Tiêu đề Bài 3_Tiệm cận của đồ thị hàm số_Lời giải.docx ✅

BÀI 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng xa được gọi là một đurờng tiệm cận đứng (hay tiệm cận đúnng) của đồ thị hàm số ()yfx nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn lim(),lim(),lim(),lim() xaxaxaxa fxfxfxfx    Đường thẳng xa là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ()yfx được minh hoạ như Hình 2. Ví dụ 1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau: a) 21 x y x  b) 2 1y x  . Lời giải a) Tập xác định: \{1;1}Dℝ . Ta có 2211lim;lim 11xx xx xx  . Suy ra đường thẳng 1x là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Ta có 2211lim;lim 11xx xx xx  . Suy ra đường thẳng 1x là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. b) Tập xác định: (1;)D . Vì 1 2 lim 1xx  nên đường thẳng 1x là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chú ý: Đồ thị hàm số 21 x y x  cùng với hai tiệm cận đứng 1x và 1x của nó được thể hiện trong Hình 3a. Đồ thị hàm số 2 1y x  cùng với tiệm cận đứng 1x của nó được thể hiện trong Hình 3 b .
2. Đường tiệm cận ngang Đường thẳng ym được gọi là một đurờng tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số ()yfx nếu lim() x fxm  hoặc lim() x fxm  . Đường thẳng ym là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ()yfx được minh hoạ như Hình 5 . Ví dụ 2. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 21 1 x y x    . Lời giải Tập xác định: \{1}Dℝ . Ta có 11 22 2121 limlim2;limlim2 1111 11xxxx xxxx xx xx       . Vậy đường thẳng 2y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chú ý: Đồ thị của hàm số 21 1 x y x    cùng với tiệm cận ngang 2y và tiệm cận đứng 1x của nó được thể hiện trong Hình 6 .
3. Đường tiệm cận xiên Đường thẳng ,0yaxba , được gọi là đuoòng tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số ()yfx nếu lim[()()]0 x fxaxb  hoặc lim[()()]0 x fxaxb  . Đường thẳng yaxb là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ()yfx được minh hoạ như Hình 8 . Ví dụ 3. Chứng minh rằng đường thẳng 2yx là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 3 ()2 1yfxx x  . Lời giải Tập xác định: \{1}Dℝ . Ta có 33 lim[()(2)]lim0;lim[()(2)]lim0 11xxxxfxxfxx xx  . Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng 2yx . Chú ý: Đồ thị hàm số 3 ()2 1yfxx x  cùng tiệm cận đứng 1x và tiệm cận xiên 2yx của nó được thể hiện trong Hình 9.
Nhận xét: a) Trong trường hợp tổng quát, có thể tìm các hệ số $a, b$ trong phương trình của đường tiệm cận xiên yaxb theo công thức như sau: () lim,lim[()] xx fx abfxax x hoặc () lim,lim[()] xx fx abfxax x . b) Khi 0a thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng yb . Ví dụ 4. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 31 () 2 xx yfx x    . Lời giải Tập xác định: \{2}Dℝ . Ta có: 2 2 ()31 limlim1 2xx fxxx a xxx    ; 2 311 lim[()]limlim1. 22xxx xxx bfxaxx xx      Ta cũng có () lim1;lim[()]1 xx fx fxx x . Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng 1yx . Chú ý: Đồ thị hàm số 2 31 2 xx y x    cùng với tiệm cận đứng 2x và tiệm cận xiên 1yx của nó được thể hiện trong Hình 10.