Tiêu đề 8 Chuyên Đề 8. Tứ Giác Nội Tiếp Đường Tròn..docx ✅

Chuyên đề 8 TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Tứ giác nội tiếp là một công cụ đặc biệt quan trọng trong các bài toán về đường tròn cũng như trong các bài toán mà đề bài không đề cập đến đường tròn. Các bài toán về tứ giác nội tiếp trong chuyên đề này gồm có: - Tứ giác nội tiếp, tính chất và cách nhận biết, bao gồm các bài toán về chứng minh một tứ giác nội tiếp và vận dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, các điểm thẳng hàng,… - Sử dụng hệ thức lượng trong đường tròn vào tứ giác nội tiếp: Từ các điểm thuộc đường tròn suy ra các hệ thức, từ các hệ thức chứng minh các điểm thuộc một đường tròn. - Chuyên đề cũng giới thiệu những chùm bài tập có giả thiết gần nhau thường gặp, như bài toán có tam giác và các đường cao, bài toán có hai tiếp tuyến và một cát tuyến kẻ từ một điểm, bài toán có tứ giác nội tiếp và giao điểm của các đường thẳng chứa các cạnh đối để khi gặp các bài toán dạng này, ta nhớ đến những bổ đề quen thuộc giúp tìm ra cách giải. Vài nét lịch sử BÀI TOÁN NA-PÔ-LÊ-ÔNG Na-pô-lê-ông Bô-na-pác (Napoléon Bonaparte 1769 – 1821), Hoàng đế Pháp, không chỉ giỏi về quân sự và kinh tế mà còn rất yêu thích toán học. Bài toán dưới đây và một vài bài toán khác, được gọi là bài toán Na-pô-lê-ông. Thực ra, đó là bài toán của nhà toán học I-ta-li-a Mac-sê-rô-ni (Lorenzo Mascheroni 1750 – 1800). Na-pô-lê-ông đã gặp nhà toán này trong chuyến viễn chinh ở I-ta-li-a và đã giới thiệu cuốn “Hình học với chiếc compa” của Mac-sê-rô-ni với Viện Hàn lâm khoa học Pa-ri. Bài toán chia đường tròn thành bốn phần với chiếc compa như sau:
Cho một đường tròn và tâm O của nó. Chỉ dùng một chiếc compa, hãy chia đường tròn đó thành bốn phần bằng nhau (tức là hãy dựng hai điểm sao cho khoảng cách giữa chúng là độ dài cạnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn). Giải (h.104) Gọi R là bán kính của đường tròn (O). Dùng compa, dựng các điểm A, B, C, D trên đường tròn sao cho AB = BC = CD = R. Dựng các cung của đường tròn (A; AC) và (D; DB), chúng cắt nhau ở E. Độ dài OE là độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn. Đường tròn (A; OE) cắt (O) ở M, N. Các điểm A, M, D, N chia đường tròn (O) thành bốn phần bằng nhau. Chứng minh: EAD cân tại E, đường trung tuyến EO là đường cao nên 2222222232R2OEAEOAACOARROER I. TỨ GIÁC NỘI TIẾP: TÍNH CHẤT VÀ CÁCH NHẬN BIẾT 1. Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh thuộc một đường tròn. 2. Trong một tứ giác nội tiếp, các góc đối bù nhau (do đó một góc của tứ giác nội tiếp bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện). 3. Một tứ giác là nội tiếp nếu có một trong các điều kiện sau: - Có một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác (dùng định nghĩa đường tròn); - Có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau (dùng cung chứa góc); - Có hai góc đối bù nhau; - Có một góc bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện. Ngoài ra, còn có thể dùng các hệ thức để chứng minh tứ giác nội tiếp (xem Mục II. Sử dụng hệ thức lượng trong đường tròn). Ví dụ 85. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm các đường phân giác của các tam giác AHB, AHC. Chứng minh rằng BIKC là tứ giác nội tiếp. Giải: (h.105) Xét  1121. 1 BIKCIIC
 0011 =90+=90+ 2 22 AC I  .AHBCHAgg△∼△ , I và K là giao điểm các đường phân giác nên HI HK bằng tỉ số đồng dạng HIHA HKHC , lại có 0 90IHK nên 22 .. 3IHKAHCcgcIAB△∼△ Từ (1), (2) và (3) suy ra   000 19090180 22 CC BIKCBBC BIKC là tứ giác nội tiếp. Ví dụ 86. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O, I, K theo thứ tự là giao điểm các đường phân giác của các tam giác ABC, AHB, AHC. Gọi D, E theo thứ tự là giao điểm của AI, AK với BC. a) Chứng minh rằng năm điểm D, I, O, K, E thuộc một đường tròn. b) Tính đường kính của đường tròn đó theo các cạnh của tam giác ABC. Giải: (h.106) a) Ta có  BAE phụ  4A ,  BEA phụ  3A , mà  34AA nên  BAEBEA .  BAE△ cân tại B, do đó đường phân giác BO là đường trung trực của AE. Tương tự CO là đường trung trực của AD. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp ADE△  0022.4590. 1DOEDAE BAE△ cân tại B có I thuộc trục đối xứng BO của tam giác nên  11EA (đối xứng), mà  11AC (do BAHACH ) nên  11EC , suy ra EI // CO. Ta lại có COAD nên EIAD , tức là  090. 2DIE Tương tự  090. 3DKE Từ (1), (2) và (3) suy ra D, I, O, K, E thuộc đường tròn đường kính DE. b) DEBECDBCBACABC . Ví dụ 87. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi Bx, Cy là các tiếp tuyến của đường tròn, D là hình chiếu của A trên Bx, E là hình chiếu của A trên Cy. Gọi I là giao điểm của AB và HD, K là giao điểm của AC và HE. Chứng minh rằng: a) Chứng minh rằng AIHK là tứ giác nội tiếp.
b) IK song song với BC. Giải: (h.107) a) Tứ giác AHBD nội tiếp AHDABD , mà  1CABD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến với dây cùng chắn  AB ) nên  1AHDC . Tương tự  1AHEB . Suy ra 0 11180AHDAHEBACCBBAC 0 180IHKIAK AIHK là tứ giác nội tiếp. b) AIHK là tứ giác nội tiếp  1IAHK , mà  1AHKB nên  11IB . Suy ra IK // BC. Ví dụ 88. Cho đường tròn (O), dây BC, điểm H nằm giữa B và C. Đường vuông góc với BC tại H cắt cung lớn BC ở A. Kẻ dây AD song song với BC. Kẻ dây DK đi qua H. Kẻ đường kính AE, cắt BC ở I. Kẻ dây KF đi qua I. Gọi M là giao điểm của AF và BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O). Giải: (h.108) Ta có  1DH (vì AD // BC),  DAEK (góc nội tiếp chắn cung AK) nên  1HAEK IHKE là tứ giác nội tiếp  21HK . Ta lại có  11KA ( góc nội tiếp chắn cung EF) nên  21HA . AHEM là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc). 0 90AEMAHM ME là tiếp tuyến của (O). Ví dụ 89. Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) có đáy lớn CD không qua O. Đường vuông góc với AD tại D và đường vuông góc với BC tại B cắt nhau ở E. Chứng minh rằng EO song song với AB. Giải: (h.109, hình vẽ ứng với điểm O nằm trong hình thang; trường hợp còn lại chứng minh tương tự) Gọi K là giao điểm của AD và BC. Ta có DABABC và OABOBC nên hiệu của chúng là  11AB . Ta lại có  1AODA nên  1BODA ODKB là tứ giác nội tiếp. (1) 090KBEKDEKBDE là tứ giác nội tiếp. (2)