Tiêu đề 4 Chuyên Đề 4. Tam Giác Đồng Dạng.docx ✅

Chuyên đề 4: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ. Chuyên đề này bao gồm các nội dung: - Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác. - Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng. Nhờ tam giác đồng dạng, ta có thêm nhiều cách mới để chứng minh các quan hệ về độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích tam giác. Vài nét về lịch sử CẬU BÉ LƯƠNG THẾ VINH ĐO CHIỀU CAO BẰNG BÓNG NẮNG Lương Thế Vinh là một nhà toán học của nước ta thế kỉ XV. Ông sinh năm 1441, mất khoảng năm 1496. Lúc nhỏ, khi chơi cùng các bạn trong làng, ông đã trả lời câu đố của một bạn yêu cầu tính chiều cao của cây cau mà không cần trèo lên cây như sau: Chỉ cần đo bóng của cây cau và bóng của một cọc thẳng đứng. Cọc dài gấp bao nhiêu lần bóng của nó thì cây cao gấp bấy nhiêu lần bóng của nó. Các bạn đã thực hành và than phục Lương Thế Vinh khi thấy kết quả đo bằng bóng nắng và kết quả đo trực tiếp khớp nhau. I. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, trường hợp cạnh- góc-cạnh, trường hợp góc-góc. Đối với hai tam giác vuông, ngoài các trường hợp nói trên còn có trường hợp đồng dạng về cạnh huyền và cạnh góc vuông. Ví dụ 33. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AD , K là trung điểm của AD . Gọi I là hình chiếu của điểm D trên CK . Chứng minh rằng AIB90 . Giải: (h.46) KID và DIC có  11KIDDIC90,KD (cùng phụ 1C ) nên KIDDIC∼ (g.g) KIKD DIDC . Ta lại có: KDKA,DCDB nên KIKA DIDB Kết hợp với  IKAIDB suy ra IKAIDB∼ (c.g.c)
 AIKBID . Cùng cộng với KIB được: AIBKID90 . Ví dụ 34. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến 1 AMAMBC 2     . Lấy điểm I trên đoạn AM sao cho  MBIMAB . Chứng minh rằng MCIMAC . Giải: (h.47) MBI và MAB có  1M là góc chung,  11BA nên MBIMAB∼ (g.g) MBMIMCMI MAMBMAMC . Kết hợp với  2M là góc chung suy ra MCIMAC∼ (c.g.c)  MCIMAC . Ví dụ 35. Cho tam giác ABC , các đường phân giác AD,BE,CF . Gọi M là giao điểm của BE và DF , N là giao điểm của DE và CF . a) Kẻ MI và NK song song với ADIAB,KAC . Chứng minh rằng AIMAKN∼ . b) Chứng minh FAMEAN . Giải: (h.48) a) Ta có: BIMBADCADCKN nên góc bù với chúng là AIMAKN . Sẽ chứng minh AIAK IMKN . Đặt BCa,ACb,ABc . Do IM//AD và  12BB nên AIMDBD IFMFBF (1) IFAF IMAD (2) Nhân (1) với (2) được AIBDAFBDAFBDb ... IMBFADADBFADa (3) Tương tự AKCDc . KNADa (4) Từ (3) và (4) suy ra AIAKBDbADaBDb :....1 IMKNADaCDcCDc . Vậy AIAK IMKN . Do đó AIMAKN∼ (c.g.c).

Rút gọn được 32214x71x850x114x85x850 . Do x0 nên x10x1 . Suy ra AD8 cm. b) 2BD514BD2 (cm). 2 DC17116DC4 (cm). ABC11SBC.AD.24.824 22 (cm 2 ). Ví dụ 38. Cho tam giác ABCABAC , đường trung tuyến AM . Điểm D trên cạnh BC sao cho  BADCAM . Chứng minh rằng 2 DBAB DCAC     . Giải: (h.51) Do MBMC nên DBDBMB . DCMCDC (1) Theo bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau (Ví dụ 14) ta có: ADB AMC SDBAB.AD MCSAM.AC (2) AMB ADC SMBAB.AM DCSAD.AC (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2 DBAB.ADAB.AMAB . DCAM.ACAD.ACAC     . Lưu ý: Do  12AA nên đường thẳng AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác của góc A . Ta gọi AD là đường đối trung đi qua A . II. Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Nếu ABCABC∼ có AB k AB  , AH và AH là đường cao thì 2ABC ABC SAH k,k AHS  . Ví dụ 39. Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của E và D trên BC . a) Chứng minh rằng tỉ số các khoảng cách từ H đến EM và DN bằng EM DN . b) Gọi O là giao điểm của DM và EN . Chứng minh rằng HO vuông góc với BC .