Tiêu đề Chương 5_Bài 16_ Lời giải_Toán 12_KNTT.pdf ✅

BÀI 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❶. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng Δ và Δ tương ứng có vectơ chỉ phương ( ) ( ) ' u a b c u a b c = ; ; , ; ; =    . Khi đó: ( ) ( ) ' 2 2 2 '2 '2 '2 cos Δ,Δ cos , + + = = + +      + + aa bb cc u u a b c a b c Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , tính góc giữa hai đường thẳng: Lời giải Hai đường thẳng Δ và Δ tương ứng có các vectơ chỉ phương u u = = (1;1;0 , 2;2;1 )  ( ). Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 1 2 2 cos Δ,Δ cos , 1 1 0 2 2 1 3  +  +   = = = + +  + +  u u Vậy (Δ,Δ 19,5 )  . Luyện tập 1: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng 3 1 1 Δ : 1 2 2 − + − = = − x y z Lời giải Trục Oz có vectơ chỉ phương là k = (0;0;1) Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là u = − (1;2; 2) Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 cos ,Δ cos , 1 1 2 ( 2) 3 − = = =  + + − Oz k u Vậy (Oz,Δ 48, 2 )  . ❷. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho đ̛ường thẳng Δ có vectơ chỉ phương u a b c = ( ; ; ) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n A B C = ( ; ; ) . Khi đó: ( ( )) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin Δ, cos , . + + = = + +  + + aA bB cC P u n a b c A B C Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , tính góc tạo bởi trục Ox và mặt phẳng (P) : 2 2 0 x y z − + + = . Lời giải Trục Ox có vectơ chỉ phương i = (1;0;0) , mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = − ( 2; 1;1) . Ta có:
( ( )) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 0 1 0 1 2 sin , 2 1 0 0 2 ( 1) 1  +  − +  = = + +  + − + Ox P . Vậy Ox tạo với (P) góc 45 . Luyện tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) , với: ( ) 2 4 1 Δ : , P : x y z 1 0 1 2 1 + − + = = − + − = − x y z . Lời giải Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là u = −( 1;2;1) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n = − (1; 1;1) Ta có ( ( )) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 sin Δ, ( 1) 2 1 1 ( 1) 1 3 2 − − + = = − + +  + − + P Do đó (Δ, 28,1 (P))  . ➌. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P Q ),( ) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là n A B C n A B C = ( ; ; , ; ; ' )  = (   ) . Khi đó, góc giữa (P) và (Q) , kí hiệu là ((P Q ),( )) , được tinh theo công thức: (( ) ( )) ( ) ' 2 2 2 '2 '2 '2 cos , cos , + + = = + +  +   + AA BB CC  P Q n n A B C A B C Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , tính góc giữa hai mặt phẳng (P x y z ): 2 2 1 0 + + − = và (Q) : x y z + − + =1 0. Lời giải Các mặt phẳng (P Q ),( ) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là n n = = − (1;2;2 , 1;1; 1 )  ( ). Ta có: (( ) ( )) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 3 cos , 1 2 2 1 1 ( 1) 9  +  +  − = = + +  + + − P Q . Do đó ((P Q ), 78,9 ( ))  . Luyện tập 3: không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P : 2 2 0 ) x y z − + − = và (Oxz) : y 0 = . Lời giải Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = − (1; 2;1) Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến n  = (0;1;0) Có (( ) ( )) 1.0 2 1 1.0 2 cos , 1 2 1 1 2 −  + = = + +  P Oxz Suy ra ((P , Oxz 45 ) ( )) = .
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz , cho A B C D (0;0;4 , 0; 3;0 , 0;3;0 , 3;0;0 ) ( − ) ( ) ( ) . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABD) và ( ACD). Lời giải Mặt phẳng ( ABD) có cặp vectơ chỉ phương là BD = (3;3;0) và AD = − (3;0; 4). Suy ra ( ABD) có vectơ pháp tuyến , 12;12; 9 ( )   = − −   BD AD . Do đó n = − − ( 4;4; 3) cũng là vectơ pháp tuyến của ( ABD). Mặt phẳng ( ACD) có cặp vectơ chỉ phương là AC = − (0;3; 4) và AD = − (3;0; 4) . Suy ra ( ACD) có vectơ pháp tuyến là , 12; 12; 9 ( )   = − − −   AC AD . Do đó m = (4;4;3) cũng là vectơ pháp tuyến của ( ACD). Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ABD) và ( ACD) . Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 3 3 9 cos cos , ( 4) 4 ( 3) 4 4 3 41  −  +  + −  = = = − + + −  + + n m Vậy   77,3 . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 5.20: Trong không gian Oxyz , tính góc giữa hai đường thẳng 1 1 2 Δ : 1 2 3  = +   = −   = + x t y t z t và 2 2 1 2 Δ : 1 1 2 − + − = = − x x z Lời giải Đường thẳng Δ1 có vectơ chỉ phương là u1 = − (2; 1;3) Đường thẳng Δ2 có vectơ chỉ phương là u2 = −( 1;1;2) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 3 21 cos Δ ,Δ 2 ( 1) 3 ( 1) 1 2 14 6 14  − + −  +  = = = + − +  − + +  Suy ra (Δ ,Δ 70,9 1 2 )  .
Bài 5.21: Trong không gian Oxyz , tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P x y z ): 2 1 0 + − − = . Lời giải Trục Oz có vectơ chỉ phương là k = (0;0;1) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n = − (1;2; 1) Có ( ( )) ( ) 2 2 0 1 0.2 1 1 1 sin , 1 1 2 ( 1) 6  + +  − = =  + + − Oz P Suy ra (Oz, P 24,1 ( ))  . Bài 5.22: Tính góc giữa đường thẳng 132 Δ : 1 2 3 + − + = = − x y z và mặt phẳng (P : x y z 3 0 ) + + + = . Lời giải Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là u = −( 1;2;3) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n = (1;1;1) Có ( ( )) 2 2 2 2 2 2 1.1 2.1 3.1 4 sin Δ, ( 1) 2 3 1 1 1 42 − + + = = − + + + + P Suy ra (Δ, 38,1 (P))  . Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). Lời giải