Tiêu đề Toán thực tế 12_Chuyên đề 10_ _Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 10. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO TÍNH THỂ TÍCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Cho hàm y f x = ( ) liên tục trên đoạn   a b;   . Gọi (H) là hình thang cong giới hạn bởi các đường sau: ( ) ( ) ( ) ( ) : 0 : C y f x y H x a x b a b  =   =  =   =   Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình (H) xoay quanh trục Ox. ( ) 2 b a V f x dx =   2. Cho 2 hàm số y f x = ( ) và y g x = ( ) cùng liên tục trên đoạn   a b;   và thỏa điều kiện f x g x x a b ( )     ( ) 0, ;     . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : : : C y f x C y g x H x a x b a b  =    =   =  =   Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình phẳng (H) quay quanh trục Ox: ( ) ( ) 2 2 b a V f x g x dx = −      B. BÀI TẬP VẬN DUNG Câu 1: Một cái trống trường có khoảng cách giữa hai mặt trống là 1 m . Một mặt phẳng qua trục của trống cắt phần xung quanh của trống theo hai cung của elip ( ) E (tham khảo hình vẽ). Biết rằng elip ( ) E có trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2 m và 1 m . Hãy tính thể tích của phần không gian mà cái trống đã nêu chiếm chỗ. Lời giải Xét hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ (trục hoành trùng với trục của trống, gốc tọa độ O trùng với tâm trống, đơn vị: m ). (H) x y (C):y=f(x) O a b y=f(x) y=g(x) y x O a b
Theo giả thiết elip ( ) E có phương trình là 2 2 1 2 1 1 1 2 1 4 x y + =  =  − y x Thể tích của cái trống là ( ) 0,5 0,5 2 2 2 0 0 1 1 11 2 1 d 1 d 2 2 48 V x x x x      = − = − =       . Vậy thể tích của cái trống trường là ( ) 11 3 m 48  . Câu 2: Một cái trống (hình vẽ) có đường kính 1 m , hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều cao của trống là 1 m. Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào? Lời giải Xét hình phẳng ( ) H (hình vẽ). Thể tích khối được giới hạn bởi bề mặt của trống là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( ) H quanh trục hoành. Gọi phương trình parabol đi qua 3 điểm A B C , , là 2 ( ) : ( , , , 0) P y ax bx c a b c a = + +   Thay tọa độ các điểm A B C (0;0,5), ( 0,5;0,35), (0,5;0,35) − vào phương trình của ( ) P ta được: 2 0,5 0,6 0,25 0,5 0,35 0 ( ) : 0,6 0,5 0,25 0,5 0,35 0,5 c a a b c b P y x a b c c  = = −      − + =  =  = − +    + + = = 

Ta có x x − =  = 1 1 2 và x x − =  = 1 2 5 . Vậy thể tích của bình cắm hoa là: 5 5 5 2 2 2 2 2 15 ( 1) d ( 1)d . 2 2 x V x x x x x       = − = − = − =       Câu 5: Cho hai đường tròn (O1 ;10) và (O2 ;8) cắt nhau tại hai điểm AB, sao cho AB là một đường kính của đường tròn (O2 ) . Gọi ( ) H là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn. Quay ( ) H quanh trục OO1 2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. Lời giải Cách 1: Ta xây dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Ta có 2 2 1 2 1 2 O O O A O A = − = 6 . Ta có 2 1 O O (0;0), ( 6;0) − . Đường tròn (O2 ;8) có phương trình là: 2 2 x y + = 64 2  = − y x 64 . Đường tròn (O1 ;10) có phương trình là: 2 2 2 ( 6) 100 100 ( 6) x y y x + + =  = − + . Thể tích cần tìm: ( ) 8 4 2 2 0 0 608 64 100 ( 6) 3 V x dx x dx  = − − − + =        . Cách 2: Chọn hệ tọa độ Oxy với 2 2 2 O O O C Ox O A Oy    , , . Cạnh ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 O O O A O A O x y = − = − =  + + = 10 6 8 : ( 8) 100 .