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FSA AGADIR SMA-5 COURS D'INTEGRATION http://saborpcmath.com/ SMPC SMAI CPGE ENSA,M FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire PAR WHATSAPP :06-26-45-09-23 PHYSIQUE : MATH : INFORMATIQUE : CHIMIE : Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74
Algèbres de parties d’un ensemble Générations d’algèbres Semi-algèbres σ-algèbres de parties d’un ensemble Génération de tribus Tribu borélienne La droite réelle achevée ΨR Tribu borélienne de R Classes montones Intégration (SMA5) A. Es-Sarhir Faculté des Sciences Agadir Es-Sarhir FSA Intégration (SMA5) Algèbres de parties d’un ensemble Générations d’algèbres Semi-algèbres σ-algèbres de parties d’un ensemble Génération de tribus Tribu borélienne La droite réelle achevée ΨR Tribu borélienne de R Classes montones Motivation: Fonctions Riemann intégrables sur un intervalle [a,b]. Z b a f (x)dx ∼ Xn i=1 f (ti )(xi −xi−1 ) oùti ∈ [xi−1,xi ] pour toute subdivision a = x0 < x1 < ··· < xn−1 < xn = b de [a,b]. Comme exemples de fonctions Riemann intégrables, on peut citer les fonctions continues, fonctions croissantes et les fonctions continues par morceaux sur [a,b]. Cours Analyse SMA2. Question: Caractériser toutes les fonctions Riemann intégrables sur [a,b]? Parmi les objectifs du cours Intégration SMA5. Es-Sarhir FSA Intégration (SMA5)

Algèbres de parties d’un ensemble Générations d’algèbres Semi-algèbres σ-algèbres de parties d’un ensemble Génération de tribus Tribu borélienne La droite réelle achevée ΨR Tribu borélienne de R Classes montones Chapitre 1: Algèbres et tribus de parties d’un ensemble Dans toute la suite E est un ensemble non vide. On notera par P (E) l’ensemble de parties de E, P (E) = {A : A ⊆ E}. Exemple: E = {1, 2, 3}, P (E) = {;, E, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}. On dit par exemple que l’ensemble {1, 3} est un élément de P (E) et on écrit {1, 3} ∈ P (E). 1: Algèbres de parties d’un ensemble Définition 1.1 Une famille A ⊂ P (E) est appelée algèbre sur E si 1) E ∈ A 2) Si A ∈ A alors Ac ∈ A 3) Si A, B ∈ A alors A∪B ∈ A . Es-Sarhir FSA Intégration (SMA5) Algèbres de parties d’un ensemble Générations d’algèbres Semi-algèbres σ-algèbres de parties d’un ensemble Génération de tribus Tribu borélienne La droite réelle achevée ΨR Tribu borélienne de R Classes montones Remarque 1.2 Si A est une algèbre sur E, alors ; ∈ A et si A, B ∈ A alors A∩B ∈ A . Cela découle de ; = E c et A∩B = ¡¡A∩B ¢ c ¢ c = ¡ A c ∪B c ¢ c . Puisque A est une algèbre alors si A, B ∈ A on a Ac ∈ A et Bc ∈ A . D’où A c ∪B c ∈ A et par suite ¡ A c ∪B c ¢ c ∈ A . Exemple 1.3 (i) A = {;, E} est une algèbre sur E, (la plus petite algèbre de E ). (ii) A = P (E) est la plus grande algèbre de E. (iii) Pour une partie A de E, on définit A = {;, A, ,A c , E}. Alors A est une algèbre sur E. Es-Sarhir FSA Intégration (SMA5)