Tiêu đề Chương 1 - BĐT qua các đề thi chọn HSG cấp THCS - Năm 2015 - 2016.pdf ✅

Chương 1 BĐT QUA CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THCS 1. NĂM HỌC 2015 – 2016 Bài 1 (Nghệ An). Với a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3. 1 1 1 a b c b c a          Bài 2 (Bình Định). Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm GTNN của biểu thức: 4 9 16 a b c A b c a c a b b a c          Bài 3 (Phú Thọ). Với a, b, c là ba số thực phân biệt đôi một. Chứng minh rằng:         2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 2 abc a b b c c a                 Bài 4 (Thanh Hóa). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 ab bc ca    3. Chứng minh rằng: 5 5 5 5 5 5 2 3 2 3 2 3 3 3 3 15( 2) a b b c c a abc ab bc ca          Bài 5 (Thái Bình). Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 1 1 1 12 x y z    . Tìm GTNN của biểu thức: 1 1 1 P x y z 2( ) x y z       Bài 6 (Đồng Tháp). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: 1 1 1 2 abc 1 1 1       Tìm GTLN của biểu thức P abc  . Bài 7 (Hà Tĩnh). Với a là số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức: 2 1 ( 1) a P a a a     Bài 8 (Đăk Nông). Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 2 5 2( )( ) a b c a b a c      Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 9 (Ninh Bình). Với x, y, z là các số thực không âm đôi một khác nhau thỏa mãn ( )( ) 1. z x z y    Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 4 ( ) ( ) ( ) x y z x z y       Bài 10 (Gia Lai). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 abc   1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 3 3 . 2 a b c b c c a a b       Bài 11 (Nam Định). Với n 1 là một số nguyên dương. Chứng minh rằng: 2 3 4 ... ( 1) 3 n n   Bài 12 (TP.HCM). Với x, y là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng:
2 2 2 1 2 xy x y x y            Bài 13 (Vĩnh Phúc). Với x, y, z là ba số thực không âm có tổng bằng 2. Chứng minh rằng: x y z x y z       2 (2 )(2 )(2 ), Bài 14 (Bắc Giang). Với 1 2.  x Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: 3 6 . 3 x x T x x      Bài 15 (Quảng Bình). Với a b a b , 0, 2.    Tìm GTLN của biểu thức: 2 2 1 1 M . a b b a     Bài 16 (Bà Rịa – Vũng Tàu). Với a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn 2 2 4 2 ( ) c b a b c    Tìm GTNN của biểu thức: 3 4 5 S b c a a c b a b c          Bài 17 (Bắc Ninh). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 2 3 . a b c   Chứng minh rằng: 2 1 3 . a b c   Bài 18 (Trà Vinh). Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 7 5 4 4 1 3 4 a b c a b b c c a               Bài 19 (Hà Nội). Với x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn 3 0 , , 2   x y z và 3 . 4 xy yz zx  Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 4 4 4 3 4 3 4 3 4 x y z P x y z       Bài 20 (Hà Nội). Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 2016 2016 2016 a b c 2015 2015 2015 abc b c a c a b a b c            Bài 21 (Hải Phòng). Với x, y, z là ba số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 1. 3 3 3 x y z x x yz y y zx z z xy         
LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHƯƠNG 1 Bài 1 (Nghệ An). Với a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3. 1 1 1 a b c b c a          Lời giải: Ta có: 2 2 2 1 ( 1) 1 . 1 1 a b a a b b        Tương tự cho 2 số hạng còn lại, ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) (b 1) (c 1) ( 3) 1 1 1 1 1 1 a b c b a c a abc b c a b c a                            Do vậy ta cần chứng minh: 2 2 2 2 2 2 ( 1) (b 1) (c 1) 3. 1 1 1 b a c a b c a          mà 2 2 2 ( 1) ( 1) . 1 2 2 b a b a ab b b b       Tương tự cho hai số hạng còn lại, ta được: 2 2 2 2 2 2 ( 1) (b 1) (c 1) 3 . 1 1 1 2 b a c a ab bc ca b c a             Ta lại có: 2 ( ) 3. 3 abc ab bc ca       Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc   1. Nhận xét: Áp dụng kết quả bài toán, ta có thể chứng minh cho bài toán sau: Với ba số thực dương a, b, c thỏa abc    3. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 8 8 8 6 1 1 1 2 2 2 a b c a b c b c a a b b c c a                      (Chọn đội tuyển dự thi VMO – Quảng Ngãi năm học 2016 – 2017) Bài 2 (Bình Định). Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm GTNN của biểu thức: 4 9 16 a b c A b c a c a b b a c          Lời giải: Cách 1: Ta sử dụng phép thế Ravi cho bài toán. Tồn tại x, y, z > 0 sao cho: a x y b y z c z x       ; ; . BĐT được viết lại là: 4( ) 9( ) 16( ) 2( ) 9( ) 8( ) 2 2 2 2 2 9 9 8 8 2 6 12 8 26. 2 2 AM GM x y y z z x x y y z z x A z x y z x y x z y x z y z x x y y z                                          Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
2 9 2 9 8 4 2 . 2 3 8 2 x z z x y x x y z x y z y y z                Hay nói cách khác 7 7 6 5 b c a   (thỏa điều kiện ba cạnh của tam giác), như vậy GTNN của A là 26. Cách 2: Ta có: 8 18 32 2 29 4 9 16 4 9 16 ( ) . a b c A b c a c a b b a c abc b c a c a b b a c                               Theo BĐT Cauchy-Schwaz, ta có: 2 4 9 16 9 b c a c a b b a c a b c            , do vậy ta được: 2 29 81 26 A A     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 7 7 . 6 5 abc   Tức A có GTNN là 26. Nhận xét: Bài toán chứng minh A 26 là đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Trị năm 2013 – 2014, và với giả thiết là abc   12 tìm GTNN của P như trên ta có đề thi HOMC – 2017. Một bài toán tương tự: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2. Tìm GTNN của biểu thức: a b c 4 9 P b c a c a b a b c          (Tuyển sinh 10 chuyên Toán – Hải Dương năm học 2013 – 2014) Bài 3 (Phú Thọ). Với a, b, c là ba số thực phân biệt đôi một. Chứng minh rằng:         2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 2 abc a b b c c a                 Lời giải: Cách 1: BĐT tương đương với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 ( ) ( ) (a b) ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c c a c b b c c a b c c a a b                Trước hết ta thấy rằng1 : 1. ( )( ) ( )( ) ( )( ) bc ca ab a b a c b c b a c a c b           Ta chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2. ( ) (c a) ( ) a b c b c a b       Thật vậy, ta có: 1 Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương.