Tiêu đề °TDs EXAMENS SMAI ALGEBRE2 2020–2021 FSO-OUADA.pdf ✅

1. Montrer que H ∪ K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H. 2. Montrer qu’un groupe ne peut ˆetre la r ́eunion de deux sous-groupes propres. Exercice 10 1. D ́eterminer tous les groupes d’ordre ≤ 5. En d ́eduire qu’un groupe non commutatif poss`ede au moins 6 ́el ́ements. 2. Montrer que le groupe sym ́etrique S3 est non commutatif. 3. D ́eterminer tous les sous-groupes du groupe sym ́etrique S3. Exercice 11 Montrer que dans un groupe d’ordre 35, il existe un ́el ́ement d’ordre 5 et un ́el ́ement d’ordre 7. Exercice 12 On muni A = R × R de deux lois d ́efinies par : (x, y) + (x 0 + y 0 ) = (x + x 0 , y + y 0 ) et (x, y) ∗ (x 0 , y0 ) = (xx0 , xy0 + x 0y) 1. Montrer que (A, +) est un groupe commutatif. 2. (a) Montrer que la loi ∗ est commutative. (b) Montrer que ∗ est associative. (c) D ́eterminer l’ ́el ́ement neutre de A pour la loi ∗. (d) Montrer que (A, +, ∗) est un anneau commutatif. Exercice 13 1. Soit n ≥ 4 et a, b, c, d ∈ {1, . . . n} tous distincts. Que vaut (a b) ◦ (c d) ◦ (d a)? 2. Que dire d’une permutation de Sn poss ́edant au moins n − 1 points fixes. 3. Une permutation s 6= Id telle que s 2 = Id est-elle n ́ecessairement une transposition? 4. Enum ́erer tous les ́el ́ements de S4. Exercice 14 Soit σ = 1 2 3 4 5 6 7 3 5 6 7 1 2 4 . 1. D ́ecomposer σ en produit de cycles `a supports disjoints. 2. Donner la signature de σ. 3. D ́ecomposer σ en produit de transpositions. 4. Calculer σ 2001 . Exercice 15 Soit les permutations Id = (1, 2, 3, 4) = 1 2 3 4 1 2 3 4 , σ1 = (2, 3, 4, 1) = 1 2 3 4 2 3 4 1 , σ2 = (3, 4, 1, 2) = 1 2 3 4 3 4 1 2 , σ3 = (4, 1, 2, 3) = 1 2 3 4 4 1 2 3 Calculer σ1σ3, σ1σ1, σ1σ2, σ3σ2, Exercice 16 Soit (G = {e, α, β, γ, δ, }, ∗) un groupe d’ ́el ́ement neutre e. Compl ́eter sa table : ∗ e α β γ δ e α δ γ β δ γ γ δ δ α e β α 2