Tiêu đề Bài 02_Dạng 03. Góc và khoảng cách trong không gian_GV.pdf ✅

GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 1 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Dạng 3: Góc và khoảng cách trong không gian Oxyz Phương pháp: • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hai đường thẳng 1 2  , tương ứng có u a b c 1 1 1 1 = ( ; ; ) và u a b c 2 2 2 2 = ( ; ; ) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos , cos . . . u u a a b b c c u u u u abcabc + +   = = = + + + + • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , đường thẳng  có vectơ chỉ phương u a b c = ( ; ; ) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n A B C = ( ; ; ). ( ( )) ( ) 2 2 2 2 2 2 . sin , cos . . . u n aA bB cC P u n u n a b c A B C + +  = = = + + + + • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hai mặt phẳng (P P 1 2 ),( ) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là n A B C 1 1 1 1 = ( ; ; ) và n A B C 2 2 2 2 = ( ; ; ) . Khi đó, ta có: (( ) ( )) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 22 1 1 1 2 2 2 . cos , cos . . . n n A A B B C C P P n n n n A B C A B C + + = = = + + + + • Khoảng cách giữa hai điểm A x y z ( A A A , , ) và B x y z ( B B B , , ) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 AB x x y y z z = − + − + − B A B A B A • Khoảng cách từ điểm M x y z 0 0 0 0 ( , , ) đến mặt phẳng ( ) có phương trình Ax By Cz D + + + = 0 là:
2 GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI ( ( )) 0 0 0 0 2 2 2 ; Ax By Cz D d M A B C  + + + = + + • Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng Δ đi qua M 0 và có vectơ chỉ phương u là: ( ) 0 1 1 , ,Δ M M u d M u     = • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ , trong đó đường thẳng Δ đi qua M 0 và có một vectơ chỉ phương u , đường thẳng Δ đi qua M 0  và có vectơ chỉ phương u  là: ( ) 0 0 , Δ,Δ . , M M u u d u u      =        Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : 5 2 14 3 x t d y t z t  =   = −   = − và 2 1 4 : 2 1 5 x t d y t z t  = −    = +   = − +   . Tính góc giữa hai đường thẳng đã cho. Lời giải Đường thẳng 1 d có một vectơ chỉ phương u1 = − − (1; 2; 3). Đường thẳng 2 d có một vectơ chỉ phương u2 = −( 4;1;5). Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 o 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1. 4 2 .1 3 c . , , 2 3 1 5 .5 3 os 30 . 2 1 . 4 d d d u u d u u − + − + − = = =  = + − + − + + − . Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 3 4 3 : 1 2 1 x y z − − +  = = − và mặt phẳng (P x y z ): 2 1 0 + + − = . Tính góc giữa  và (P) Lời giải Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương u = − (1;2; 1). Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến n = (2;1;1). Ta có: ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) o 2 2 2 2 2 2 1.2 2.1 1 .1 sin , , 30 2 1 . 1 . 2 1 . 2 1 1 u n u n  =  = P P + + − + + + − = = +  Bài tập 3: Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian Oxyz . Tính cos giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là 1 : , 2 1 1 x y z d = = − 2 1 1 1 : . 3 3 9 x y z d − − − = = Lời giải Đường thẳng 1 d có vectơ chỉ phương u1 = − (2;1; 1 .) Đường thẳng 2 d có vectơ chỉ phương u2 = (3;3;9 .) Ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2.3 1.3 1 .9 cos , 0 2 1 1 . 3 3 9 d d + + − = = + + − + + . BÀI TẬP TỰ LUẬN
GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 3 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Bài tập 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng 1 1 1 : 1 1 2 x y z d + − = = − và 2 1 3 : 1 1 1 x y z d + − = = − Lời giải Vectơ chỉ phương ( ) 1 1; 1;2 d u = − , vectơ chỉ phương ( ) 2 1;1;1 d u = − Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1. 1 1.1 2.1 cos , cos , 0 1 1 2 . 1 1 1 d d d d u u − − + = = = + − + − + + Vậy (d d 1 2 , 90 . ) =  Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 6 5 : 2 1 x t d y t z  = +   = +   = và mặt phẳng (P x y ):3 2 1 0. − + = Góc hợp bởi giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu? Lời giải Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Ta có ud = (5;1;0) và ( ) (3; 2;0) P n = − Khi đó ( ( ) ) ( ) ( ) . 2 sin cos , 45 . . 2 d P d P d P u n u n u n   = = =  =  Bài tập 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1 : 2 1 2 x y z − +  = = − và mặt phẳng (): 2 0. x y z + − − = Cosin của góc tạo bởi đường thẳng  và mặt phẳng ( ) bằng bao nhiêu? Lời giải Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương u = − (2; 1;2) và mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến n = − (1;1; 1 .) Ta có ( ( )) ( ) ( ( )) . 3 78 sin , cos , cos , . . 9 9 u n u n u n  = = =   =   Bài tập 7: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P x y z ): 2 3 0 − − − = và (Q x z ): 2 0. − − = Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng bao nhiêu? Lời giải Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến nP = − − (2; 1; 1 .) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến nQ = − (1;0; 1 .) Ta có ( ) ( ) ( ) . 2 0 1 3 cos , cos , . . 4 1 1. 1 1 2 P Q P Q P Q n n P Q n n n n + +   = = = =   + + + Vậy   (P Q ), 30 . ( ) =    Bài tập 8: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M (1;0;0 ,) N(0;1;0) và P(0;0;1 .) Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (Oxy) bằng bao nhiêu ? Lời giải
4 GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Mặt phẳng (MNP) có một vectơ pháp tuyến là n MN MP , 1;1;1 . ( ) = =     Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là k = (0;0;1 .) Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (Oxy). Ta có ( ) 222 1.0 1.0 1.1 1 cos cos , . 111 3  n k + + = = = + + Bài tập 9: Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P x y z ): 2 2 10 0 + + − = và (Q x y z ): 2 2 5 0 + + − = bằng bao nhiêu? Lời giải Cách 1: Ta có M P (10;0;0)( ) . Vì 1 2 2 10 1 2 2 5 − == − nên hai mặt phẳng (P) và (Q) song song. Khi đó, d P Q d M Q (( ), , ( )) = ( ( )) 10 5 5 9 3 − = = . Cách 2: Công thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) 1 P ax by cz d : 0 + + − = và ( ) 2 Q ax by cz d : 0 + + − = bằng: (( ) ( )) 1 2 2 2 2 , d d d P Q abc − = + + (( ) ( )) 10 5 5 , 9 3 d P Q −  = = . Bài tập 10: Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa đường thẳng 1 2 1 : 2 1 2 x y z − + −  = = và mặt phẳng (P x y z ): 2 2 1 0 − − + = bằng bao nhiêu? Lời giải Đường thẳng  đi qua điểm M (1; 2;1 − ) , có 1 véc tơ chỉ phương u= (2;1;2) . Mặt phẳng (P) có 1 véc tơ pháp tuyến n = − − (2; 2; 1). Ta có: u n u n . 2.2 2.1 1.2 0 = − − =  ⊥ . Mà ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2.1 2. 2 1.1 1 6 , , 2. 3 2 2 1 M P d P d P d M P − − − +     = = = = + − + − ∥ Bài tập 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P x y z ): 4 3 0 + + − = và điểm A(1;1;3) . Mặt phẳng (Q P )∥ ( ) và cắt các tia Ox Oy , lần lượt tại các điểm B và C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 22 . Khoảng cách từ điểm M (2;2;1) đến (Q) bằng bao nhiêu? Lời giải Mặt phẳng (Q P Q )∥ ( ) ( ) có dạng: x y z d d + + + =  − 4 0 3 ( ). (Q Ox B d Q Oy C d )  = −  = − ( ;0;0 , 0; ;0 ) ( ) ( ) . Do B , C lần lượt thuộc các tia Ox Oy , Suy ra d  0.