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Chapitre 1 Quelques compléments sur les espaces vectoriels normés Dans tout ce chapitre E désigne un espace vectoriel normé (e.v.n.) sur IR . On notera, pour a ∈ E et r > 0 , BE(a, r) la boule fermée de E de centre a et de rayon r. Alors la boule ouverte de centre a et de rayon r c'est l'intérieure ◦ B(a, r) de BE(a, r). ( Notons que cette propriété n'est pas vraie dans un espace métrique quelconque. ) 1.1 Séries dans un e.v.n. Dénition 1.1.1 Soit (un) une suite de E . On appelle série de terme général un et on note Σ n≥0 un, la suite (Sn) dénie par Sn = Xn k=0 uk, ∀n ∈ IN. On dit que P n≥0 un est convergente dans E si la suite (Sn) est convergente dans E. Si aucune confusion n'est à craindre, on dit tout simplement convergente au lieu de convergente dans E . On dit qu'elle est normalement convergente si la série P n≥0 kunk est convergente. Théorème 1.1.1 Si E est un espace de Banach, alors toute série normalement convergente est convergente. Preuve Soit (un) une suite de E . Supposons que P n≥0 un est normalement convergente et soit (Sn) la suite des sommes partielles. Pour tout m > n, on a : kSm −Snk = kun+1 +...+umk ≤ kun+1k+ ... + kumk. Puisque la série P n≥0 kunk est convergente dans IR, on a : lim n→+∞ m→+∞ kun+1k + ...kumk = 0. Donc lim n→+∞ m→+∞ kSm − Snk = 0. Comme E est complet, la suite (Sn) est convergente. Donc la série P n≥0 un est convergente. 1
1.2 Applications linéaires continues Dans ce paragraphe E et F désignent deux e.v.n. sur IR et L(E, F) désigne l'espace des applications linéaires continues de E dans F muni de la norme dénie par : kfk = sup kxk≤1 kf(x)k, ∀f ∈ L(E, F). Théorème 1.2.1 Si F est un espace de Banach, alors L(E, F) est un espace de Banach. Preuve Soit (fn) une suite de Cauchy dans L(E, F). Montrons que la suite (fn) converge dans L(E, F). Pour cela, on va montrer que (fn) converge simplement vers une fonction f, que f est linéaire continue et que (kfn − fk) tend vers 0. Soit x ∈ E. On a pour tous m ∈ IN et n ∈ IN, kfm(x) − fn(x)k ≤ kfm − fnkkxk. Puisque la suite (fn) est de Cauchy, (kfm − fnk) tend vers 0 quand m et n tendent vers +∞. Donc kfm(x) − fn(x)k tend vers 0 quand m et n tendent vers +∞. Comme F est complet, la suite (fn(x)) est convergente. Notons f(x) sa limite et montrons que f est linéaire. On a pour tous α ∈ IR, β ∈ IR et pour tous x ∈ E, y ∈ E, fn(αx + βy) = αfn(x) + βfn(y) , ∀n ∈ IN. Par passage à la limite, on obtient : f(αx + βy) = αf(x) + βf(y). Montrons maintenant que f est continue. Puisque la suite (fn) est de Cauchy, elle est bornée. Donc il existe M > 0 tel que kfnk ≤ M, pour tout n ∈ IN. Donc pour tout x ∈ BE(0, 1) et pour tout n ∈ IN, kfn(x)k ≤ M. En xant x et en faisant tendre n vers +∞, on obtient kf(x)k ≤ M. Cela montre que f est bornée sur la boule unitée. Donc f est continue. Il reste à montrer que (kfn − fk) tend vers 0. Soit ε > 0, il existe N ∈ IN tel que : ∀m ≥ N, ∀n ≥ N, kfm − fnk ≤ ε. Alors pour tout x ∈ BE(0, 1), on a : ∀m ≥ N, ∀n ≥ N, kfm(x) − fn(x)k ≤ ε. En faisant tendre n vers +∞, on obtient : ∀m ≥ N, kfm(x) − f(x)k ≤ ε. Ceci étant vrai pour tout x ∈ BE(0, 1), donc ∀m ≥ N, kfm − fk ≤ ε. Donc (kfn − fk) tend vers 0. Ce qui achève la démonstration du Théorème. Corollaire 1.2.1 E ∗ = L(E, IR) est un espace de Banach. Théorème 1.2.2 Soit u une application linéaire continue de E dans lui même telle que kuk < 1. On suppose que E est un espace de Banach. On note I l'application identique de E, u 0 = I et pour tout k ∈ IN∗ , uk = u ◦ u ◦ ... ◦ u (k fois). Alors I − u admet un inverse dans L(E, E) et on a : (I − u) −1 = X +∞ k=0 u k . 2
Preuve On a pour tout n ∈ IN, ku nk ≤ kuk n . Puisque kuk < 1, la série P n≥0 kuk n est convergente. Donc la série P n≥0 u n est normalement convergente. Comme L(E, E) est un espace de Banach, la série P n≥0 u n est convergente. Posons v sa somme. On a pour tout n ∈ IN (I − u) ◦ (I + u + ... + u n ) = (I + u + ... + u n ) ◦ (I − u) = I − u n+1 En faisant tendre n vers +∞, on obtient : (I − u) ◦ v = v ◦ (I − u) = I. Donc I − u est inversible et son inverse est égal à v. Théorème 1.2.3 Soient E et F deux espaces de Banach. Notons Isom(E, F) l'ensemble des isomorphismes continues de E dans F. Alors a) Isom(E, F) est un ouvert de L(F, F). b) L'application f : u 7→ u −1 de Isom(E, F) dans L(F, F) est continue. Preuve • Montrons a). Soit u ∈ Isom(E, F). Montrons que pour v ∈ L(E, F) assez proche de u, on a : v ∈ Isom(E, F). On peut écrire v = u + (v − u) = u ◦ I + u −1 (v − u) . D'après le théorème ci dessus, I + u −1 (v − u) ∈ Isom(E, F) pourvu que ku −1 (v − u)k < 1. Or ku −1 (v − u)k ≤ ku −1kkv − uk. Donc si kv − uk < 1 ku−1k , alors I + u −1 (v − u) ∈ Isom(E, F). D'autre part, u ∈ Isom(E, F) . Donc u ◦ I + u −1 (v − u) ∈ Isom(E, F) pour tout v ∈ L(E, F) satisfaisant kv − uk < 1 ku−1k . Autrement dit, la boule ouverte de centre u et de rayon 1 ku−1k est contenue dans Isom(E, F). Donc ce dernier est un ouvert. • Montrons b). Soit u ∈ Isom(E, F). Pour tout v dans la boule ouverte de centre u et de rayon 1 ku−1k , on a : v −1 = u ◦ I + u −1 ◦ (v − u) −1 = I + u −1 ◦ (v − u) −1 ◦ u −1 = + P∞ k=0 (−1)k u −1 ◦ (v − u) k ◦ u −1 = u −1 + + P∞ k=1 (−1)k u −1 ◦ (v − u) k ◦ u −1 Donc kv −1 − u −1k ≤ + P∞ k=1 ku −1 ◦ (v − u)k kku −1k ≤ + P∞ k=1 ku −1kk(v − u)k k ku −1k = ku−1k kv−uk 1−ku−1k kv−uk ku −1k. Donc limv→u f(v) = f(u). Ce qui montre que f est continue en u. 3
1.2.1 Théorème de l'application ouverte Nous admettons le théorème suivant dont la démonstration est dicile et utilise le théorème de Baire. Théorème 1.2.4 Soit f une application linéaire continue de E dans F. On suppose que E et F sont des espaces de Banach et que f est surjective. Alors f est une application ouverte. (c'est à dire que l'image par f d'un ouvert de E est un ouvert de F). Corollaire 1.2.2 Les hypothèses sont celles du théorème ci dessus, alors il existe une applica- tion g de F dans E positivement homogène ( c'est à dire g(λy) = λg(y), ∀λ ≥ 0 et ∀y ∈ F) telle que : i) ∀y ∈ F, y = (f ◦ g)(y); ii) ∃c > 0, ∀y ∈ F, kg(y)k ≤ ckyk. Preuve D'après le théorème de l'application ouverte, l'image de la boule ouverte de centre 0E et de rayon 1 est un ensemble ouvert. Comme il contient 0F , il contient une boule fermée de centre 0F . Donc il existe r > 0 tel que : BF (0, r) ⊂ f ◦ BE(0, 1) . D'où pour tout y ∈ BF (0, r), il existe un élément x(y) ∈ ◦ BE(0, 1) tel que y = f x(y) . Alors l'application f : F → E dénie par g(y) = 2kyk r x ry 2kyk si y = 0 et g(0) = 0 satisfait les conditions demandées. 1.2.2 Théorème d'isomorphisme de Banach Théorème 1.2.5 On suppose que E et F sont des espaces de Banach. Soit f une application linéaire continue et bijective de E dans F. Alors f −1 est continue. Preuve D'après le théorème de l'application ouverte, l'image par f d'un ouvert de E est un ouvert de F. Mais f = f −1 −1 . Donc l'image réciproque par f −1 d'un ouvert de E est un ouvert de F. C'est à dire que f −1 est continue. 1.3 Applications multilinéaires continues. Dénition 1.3.1 Soient E1, E2, ... En et F des e.v.n. sur IR. une application f : E1 × E2 × ... × En → F est dite multilinéaire si pour tout k ∈ {1, ..., n} et pour tout a = (a1, a2, ..., an) ∈ E1 × E2 × ... × En l'application partielle fk : Ek → F xk 7→ f(a1, a2, ..., ak−1, xk, ak+1, ..., an) est linéaire. 4