Tiêu đề Bài 03_Dạng 01. Xác định các yếu tố của mặt cầu trong không gian_GV.pdf ✅

GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 1 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trong không gian, tập hợp tất cả các điểm M cách điểm I cố định một khoảng không đổi là R R(  0) cho trước được gọi là mặt cầu tâm I bán kính R . Kí hiệu là S I R ( ; ) hay viết tắt là (S ). Vậy S I R M IM R ( ; | ) = =   Chú ý: • Điểm M x y z ( ; ; ) nằm trong mặt cầu (S ) nếu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a x b x c R − + − + −  . • Điểm M x y z ( ; ; ) nằm trên mặt cầu (S ) nếu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a x b x c R − + − + − = . • Điểm M x y z ( ; ; ) nằm ngoài mặt cầu (S ) nếu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a x b x c R − + − + −  . Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) tâm I a b c ( ; ; ) bán kính R. Phương trình mặt cầu (S ) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a x b x c R − + − + − = . Phương trình mặt cầu dạng khai triển là 2 2 2 x y z ax by cz d + + − − − + = 2 2 2 0 với 2 2 2 a b c d + + −  0 là phương trình của mặt cầu tâm I a b c ( ; ; ) và bán kính 2 2 2 R a b c d = + + − . BÀI 03 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1 Định nghĩa 2 Phương trình mặt cầu
2 GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Dạng 1: Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian Loại 1: Cho (S ) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a x b x c R − + − + − = .Khi đó: • Tâm I a b c ( ; ; ) (đổi dấu số trong dấu ngoặc) • Bán kính R (rút căn vế phải) Loại 2: Cho (S ) là: 2 2 2 x y z ax by cz d + + − − − + = 2 2 2 0 . Khi đó: • Điều kiện để phương trình trên là mặt cầu là 2 2 2 a b c d + + −  0 • Tâm I a b c ( ; ; ) (đổi dấu hệ số của x y z , , và chia đôi) • Bán kính 2 2 2 R a b c d = + + − . Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) có phương trình ( ) 2 2 1 2 1 9. 2 x y z     − + + + =   Xác định tâm và bán kính của (S ). Lời giải Mặt cầu (S ) có tâm 1 ; 1;0 2 I     −   , bán kính R = 3. Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) 2 2 2 S x y z x y z : 2 2 8 18 0 + + + − + − = . Xác định tâm, bán kính của (S ). Lời giải Mặt cầu (S ) có tâm I x y z ( I I I ; ; ) với 2 2 8 1, 1, 4 2 2 2 I I I x y z − = = − = = = = − − − − nên I (− − 1;1; 4). Mặt cầu (S ) có bán kính là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 R = − + + − − − = 1 1 4 18 6 . Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) 2 2 2 x y z x z + + − − + = 2 5 30 0 . b) 2 2 2 x y z x y z + + − + − = 4 2 2 0 . c) 3 3 3 x y z x y z + + − + − − = 2 6 9 10 0 . d) 2 2 2 x y z + + + = 5 0 . e) 2 2 2 3 2 2 2 2 1 0 x y z x y z + + − − + + = f) 2 2 x y x y z + − + − − = 2 6 8 3 0 g) 2 2 2 x y z x y z + + − + − + = 6 8 2 10 0 h) 2 2 2 2 2 2 12 4 8 20 0 x y z x y z + + + + − + = Lời giải B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN
GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 3 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI a) Ta có 5 1, 0, , 30 2 a b c d = = = = . Do 2 2 2 25 1 0 30 0 4 a b c d + + − = + + −  nên phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu. b) Ta có a b c d = = − = = 2, 1, 1, 0 . Do 2 2 2 a b c d + + − = + + − =  4 1 1 0 6 0 nên phương trình đã cho là phương trình mặt cầu. Khi đó mặt cầu có tâm I (2; 1;1 − ) và bán kính R = 6 . c) Do phương trình 3 3 3 x y z x y z + + − + − − = 2 6 9 10 0 có chứa 3 x nên phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu. d) Ta có a b c d = = = = 0, 0, 0, 5 . Do 2 2 2 a b c d + + − = + + −  0 0 0 5 0 nên phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu. e) Phương trình 2 2 2 3 2 2 2 2 1 0 x y z x y z + + − − + + = không phải là phương trình của một mặt cầu vì các hệ số của 2 x và 2 y khác nhau. f) Phương trình 2 2 x y x y z + − + − − = 2 6 8 3 0 không phải là phương trình của một mặt cầu vì không có biểu thức 2 y . g) Ta có: 2 2 2 x y z x y z + + − + − + = 6 8 2 10 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2  + + − + − + =  − + + + − = x y z x y z x y z 2.3. 2.4. 2.1. 10 0 3 4 1 16 Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I (3; 4;1 − ) bán kính R = = 16 4 . h) Ta có: 2 2 2 2 2 2 12 4 8 20 0 x y z x y z + + + + − + = 2 2 2 2 2 2  + + + + − + =  + + + + − + = x y z x y z x y z x y z 6 2 4 10 0 2.3. 2.1. 2.2. 10 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2  + + + + − = x y z 3 1 2 4 . Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I (− − 3; 1;2) bán kính R = = 4 2 . Bài tập 4: Trong không gian Oxyz , một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí A(2;0;0) . Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1 . Hỏi vị trí M (2;1;1) có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không? Lời giải Vùng phủ sóng của thiết bị là khối cầu (S ) có tâm A(2;0;0) và bán kính R =1. Do ( ) ( ) ( ) 222 AM = − + − + − =  2 2 1 0 1 0 2 1 nên vị trí M (2;1;1) không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên. Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilomet), một trạm phát sóng điện thoại của nhà mạng Vinaphone được đặt ở vị trí I (1;2;1) và được thiết kế bán kinh phủ sóng 5000 mét. a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian?
4 GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI b) Nhà bạn Diệp Chi, và Tuệ Nhi có vị trí tọa độ lần lượt là A(3;2; 1− ) và B(4; 3;5 − ) . Hỏi Diệp Chi và Tuệ Nhi dùng điện thoại tại nhà thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không? Lời giải a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z − + − + − = 1 2 1 25 b) Do ( ) ( ) (( ) ) 2 2 2 IA = − + − + − − =  3 1 2 2 1 1 8 5 nên điểm A(2;3; 1− ) nằm trong mặt cầu đó. Vậy bạn Diệp Chi có thể sử dụng dịch vụ của trạm này. Mặt khác ( ) (( ) ) ( ) 2 2 2 IB = − + − − + − =  4 1 3 2 5 1 50 5 nên điểm B(4; 3;5 − ) nằm ngoài mặt cầu đó. Vậy bạn Tuệ Nhi không thể sử dụng dịch vụ của trạm này. Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilomet), một trạm phát sóng rađa của Nga được đặt trên bán đảo Crimea ở vị trí I(− − 2;1; 1) và được thiết kế phát hiện máy bay của địch ở khoảng cách tối đa 500 kilomet. a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của rađa trong không gian? b) Hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh đang bay ở vị trí có tọa độ M (− − 200;100; 250) và N(350; 100;300 − ) . Hỏi hai chiếc máy bay đó có bị rađa phát hiện hay không? Lời giải a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của rađa trong không gian là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z + + − + + = 2 1 1 250000 b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 IM = − + + − + − +   200 2 100 1 250 1 333,2 500 nên điểm M (− − 200;100; 250) nằm trong mặt cầu đó. Vậy chiếc máy bay do thám của Mỹ có thể bị phát hiện bởi trạm rađa này. Do ( ) (( ) ) ( ) 2 2 2 IN = + + − − + +   350 2 100 1 300 1 474 500 nên điểm N(350; 100;300 − ) nằm trong mặt cầu đó. Vậy chiếc máy bay do thám của Anh có thể bị phát hiện bởi trạm rađa này.