Tiêu đề CHUYÊN ĐỀ 15. CÂU HỎI.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 Để đảm bảo quyền lời cho giáo viên đã mua tài liệu, thì nội dung file pdf này bên mình sẽ cắt giảm đi số lượng câu hỏi so với file thực tế. PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ 1. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ Cho hàm số f x( ) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F x( ) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu F x f x ( ) ( )   với mọi x thuộc K . Chú ý. Trường hợp K a b  [ ; ] thì các đẳng thức F a f a ( ) ( )   và F b f b ( ) ( )   được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x a  và đạo hàm bên trái tại điểm x b  của hàm số F x( ), tức là ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) và lim ( ). x a x b F x F a F x F b f a f b x a x b           Ví dụ 1: Cho hàm số 2 f x x x ( ) 2   . Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên  ? a) 3 2 ( ) 3 x F x x   ; b) 3 2 ( ) 3 x G x x   . Giải Ta có: 2 2 F x x x G x x x ( ) 2 , ( ) 2       . Vì F x f x ( ) ( )   với mọi x nên hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên  . Hàm số G x( ) không là nguyên hàm của f x( ) trên  vì với x 1, ta có G f (1) 3 1 (1).      Giả sử hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K . Khi đó: a) Với mỗi hằng số C , hàm số F x C ( )  cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên K ; b) Nếu hàm số G x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G x F x C ( ) ( )   với mọi x K  . Như vậy, nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của f x( ) trên K đều có dạng F x C ( )  (C là hằng số). Ta gọi F x C C ( ) ( )    là họ các nguyên hàm của f x( ) trên K , kí hiệu bởi f x dx ( )  . Chú ý a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f x( ) trên K , ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F x( ) của f x( ) trên K và khi đó f x dx F x C C ( ) ( ) ,    là hằng số b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f x( ) liên tục trên khoảng K thì f x( ) có nguyên hàm trên khoảng đó. c) Biểu thức f x dx ( ) gọi là vi phân của nguyên hàm F x( ), kí hiệu là dF x( ) . Vậy dF x F x dx f x dx ( ) ( ) ( )    . d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K , CHUYÊN ĐỀ 15. NGUYÊN HÀM • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Ví dụ 2: Tìm một nguyên hàm của hàm số 2 f x x ( )  trên  . Từ đó hãy tìm 2 x dx  . Giải Vì 3 2 3 2 3 3 x x x          nên 3 ( ) 3 x F x  là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên  . Do đó, 3 2 3 x x dx C    . 2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho f x( ) là hàm số liên tục trên K k, là một hằng số khác 0. Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K . k f x dx k f x dx k ( ) ( ) ( 0)     Ví dụ 3: Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm: a) 2 3 x dx  b) 3 2 2  x dx  Giải Ta có: a) 3 2 2 3 3 3 3 3 x x dx x dx C x C         . b) 3 3 3 3 1 2 2 3 2 2 2 3 2 x           x dx x dx C x C   . Cho f x( ) và g x( ) là hai hàm số liên tục trên K . Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) , G x( ) là một nguyên hàm của g x( ) trên K .      f x g x dx f x dx g x dx ( ) ( ) ( ) ( )     .      f x g x dx f x dx g x dx ( ) ( ) ( ) ( )     . Ví dụ 4: Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm: a)   2 x x dx   b)   3 2 4 3 x x dx   Giải Ta có: a)   3 2 2 2 3 2 x x x x dx x dx x dx C          . b)   3 2 3 2 4 3 4 3 4 3 x x dx x dx x dx x x C          .

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác 2 2 cos sin ; sin cos 1 1 tan ; cot cos sin x dx x C x dx x C dx x C dx x C x x                   Ví dụ 7: Tìm: a) (cos sin ) x x dx   ; b) 2 1 2cos cos x dx x         Giải a) (cos sin ) cos sin sin cos x x dx xdx xdx x x C          . b) 2 2 1 1 2cos 2 cos 2sin tan cos cos x dx x dx dx x x C x x                . c) Nguyên hàm của hàm số mũ x x    e dx e C  . (0 1) ln x x a a dx C a a       . Ví dụ 8: Tìm: a) 2x dx  ; b) 1 3x dx  ; c) 2 5  x x e dx   . Giải a) 2 2 ln 2 x x dx C    . b) 1 1 1 1 3 3 3 3 ln 3 1 ln 3 x x x x dx dx C C                     . c)   5 2 5 2 5 2 ln 5 x x x x x x e dx e dx dx e C          . Ta tổng kết lại bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp như sau. 0 dx C  1 dx x C    1 ( 1) 1 x x dx C            1 ln | | dx x C x    x x e dx e C    (0 1) ln x x a a dx C a a      cos sin x dx x C    sin cos x dx x C     2 1 cot sin dx x C x     2 1 tan cos dx x C x    Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp và tính chất cơ bản của nguyên hàm, ta có thể tìm được nguyên hàm của nhiều hàm số khác.