Tiêu đề +TDs ANALYSE NUMERIQUE FSDM-FES 20-21 SMP3.pdf ✅

FSDM FES SMP-3 TDs + CORRIGES ANALYSE NUMERIQUE 2020-2021 http://saborpcmath.com/ SMPC SMAI CPGE ENSA,M FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire PAR WHATSAPP :06-26-45-09-23 PHYSIQUE : MATH : INFORMATIQUE : CHIMIE : Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74
UNIVERSITÉ SIDI MOHAMMED BEN ABDELLAH ANNÉE UNIVERSITAIRE 2020-2021 Faculté des Sciences Dhar El Mahraz Module: Analyse Numérique Département de Mathématiques Filière: SMP Semestre: 3 Pr. Adnane AZZOUZI Série de TD n o 1 Résolution approchée des équations non linéaires de type f(x) = 0 Exercice 1 Méthode de dichotomie et de Newton-Raphson On veut chercher numériquement la solution sur ]−∞,−2[ de l’équation f(x) = 0 où f est définie par f(x) = x 3 + 3 2 x 2 −6x−3. 1. Etudier les variations de f sur R. En déduire l’existence de trois solutions réelles de f(x) = 0 sur R. En déduire qu’il existe une unique solution de f(x) = 0 sur ]−∞,−2[ notée α. 2. Déterminer une valeur approchée de α à 10−2 près et ceci (a) En utilisant la méthode de dichotomie. (Indication calculer par exemple f(−100), f(−10), f(−4) et f(−3) ). (b) En utilisant la méthode de Newton-Raphson avec x0 = −2.9. 3. Avez-vous besoin de combien d’itérations pour aboutir dans la question précédente à cette valeur ap- prochée de α à 10−2 près, pour la méthode de dichotomie et celle de Newton-Raphson. 4. Que peut-on conclure? 5. On prend par exemple [a,b]=[−4,−3]. Montrer que la suite (xn)n∈N obtenue à partir de la méthode de dichotomie converge vers α et qu’on a la majoration suivante |xn −α|≤ b−a 2 n 6. En déduire le nombre d’itération qu’on doit effectuer en utilisanrt la méthode de dichotomie pour aboutir à une valeur approchée de α à 10−6 près. 7. Déterminer une valeur approchée de α à 10−6 près en utilisant la méthode de Newton-Raphson avec x0 = −2.9. 8. Que peut-on conclure? Exercice 2 Méthode de point fixe On veut chercher numériquement l’unique zéro de f(x) = x 2 −2 sur R ∗ +. Le principe de la méthode du point fixe revient à cherhcer l’unique point fixe de g qui vérifie f(x) = 0 ⇐⇒ g(x) = x (1) On définit les 3 fonctions suivantes. g1(x) = 1 2 x+ 2 x g2(x) = x+ 1 2 (2−x 2 ) g3(x) = 2 x Pour chaque fonction gi (i = 1,2,3) , on va définir la suite (xn)n∈N par xn+1 = gi(xn). 1. Vérifier que gi vérifie l’équation (1) pour i = 1,2,3. 2. Vérifier que g1 est obtenue à partir de la formule de Newton Raphson. Que peut-on conclure? 3. Déterminer une valeur approchée de √ 2 à 10−3 près en utilisant la fonction g1 avec x0 = 2.1 4. Soit g2 : [0.1 , 1.9] −→ R définie sur l’intervalle [0.1 , 1.9]. Justifier pourquoi la suite (xn)n∈N obtenue avec g2 converge vers √ 2 5. Dans ce cas, déterminer une valeur approchée de √ 2 à 10−3 près en utilisant la fonction g2 avec x0 = 1.7 et x0 = 0.3. 6. Monter que la suite (xn)n∈N obtenue avec g3 ne converge pas vers √ 2. Que peut-on conclure? 1
UNIVERSITÉ SIDI MOHAMMED BEN ABDELLAH ANNÉE UNIVERSITAIRE 2020-2021 Faculté des Sciences Dhar El Mahraz Module: Analyse Numérique Département de Mathématiques Filière: SMP Semestre: 3 Pr. Adnane AZZOUZI Correction de la série de TD n o 1 Résolution approchée des équations non linéaires de type f(x) = 0 Exercice 1 Méthode de dichotomie et de Newton-Raphson On veut chercher numériquement la solution sur ]−∞,−2[ de l’équation f(x) = 0 où f est définie par f(x) = x 3 + 3 2 x 2 −6x−3. 1. Etudier les variations de f sur R. En déduire l’existence de trois solutions réelles de f(x) = 0 sur R. En déduire qu’il existe une unique solution de f(x) = 0 sur ]−∞,−2[ notée α. Réponse On a f 0 (x) = 3(x+2)(x−1). Donc f 0 s’annule en deux points x = −2 et x = 1 x f 0 (x) f(x) −∞ −2 1 +∞ + 0 − 0 + −∞ 7 − 13 2 +∞ D’après le tableau de variation, on peut tirer les informations suivantes lim x→−∞ f(x) = −∞ f(−2) = 7 > 0 f est continue    =⇒ il existe une solution α1 ∈ −]∞,−2[/ f(α) = 0 | {z } d’après le théorème des valeurs intermédiaires. . il existe une solution α ∈ −]∞,−2[/ f(α1) = 0 f 0 (x) 6= 0 =⇒ La solution de f(x) = 0 sur ]−∞,−2[ est unique. On fait de même pour les autres intervalles ]−2,1[ et ]1,+∞[, on trouve qu’il existe une unique solution β ∈]−2,1[/ f(β) = 0 et qu’il existe une unique solution γ ∈]1,+∞[/ f(γ) = 0 Donc on peut résumer ces résultats sur le tableau de variation suivant x f 0 (x) f(x) −∞ −2 1 +∞ + 0 − 0 + −∞ 7 − 13 2 +∞ α 0 β 0 γ 0 2. Déterminer une valeur approchée de α à 10−2 près et ceci (a) En utilisant la méthode de dichotomie. (Indication calculer par exemple f(−100), f(−10), f(−4) et f(−3) ). Réponse 1
f(−100) = −984403 < 0 f(−10) = −793 < 0 f(−4) = −19 < 0 f(−3) = 1.5 > 0 f(α) = 0    =⇒ α ∈]−4,−3[ | {z } d’après le théorème des valeurs intermédiaires. . Soit a0 = −4 et b0 = −3 Itération 1 a0 = −4 a0+b0 2 = −3.5 b0 = −3 f(a0) = −19 < 0 f a0+b0 2 = −6.5 < 0 f(b0) = 1.5 > 0 a1 = a0+b0 2 = −3.5 b1 = b0 = −3 b1 −a1 | {z } >10−2 = −3+3.5 = 0.5 Itération 2 a1 = −3.5 a1+b1 2 = −3.25 b1 = −3 f(a1) = −6.5 < 0 f a1+b1 2 = −1.984375 < 0 f(b1) = 1.5 > 0 a2 = a1+b1 2 = −3.25 b2 = b1 = −3 b2 −a2 | {z } >10−2 = −3+3.25 = 0.25 Itération 3 a2 = −3.25 a2+b2 2 = −3.125 b2 = −3 f(a2) = −1.984375 < 0 f a2+b2 2 ' −0.119 < 0 f(b2) = 1.5 > 0 a3 = a2+b2 2 = −3.125 b3 = b2 = −3 b3 −a3 | {z } >10−2 = 0.125 Itération 4 a3 = −3.125 a3+b3 2 = −3.0625 b3 = −3 f(a3) ' −0.119 < 0 f a3+b3 2 ' 0.720 > 0 f(b3) = 1.5 > 0 a4 = a3 = −3.125 b4 = a3+b3 2 = −3.0625 b4 −a4 | {z } >10−2 = 0.0625 Itération 5 a4 = −3.125 a4+b4 2 = −3.09375 b4 = −3.0625 f(a4) ' −0.119 < 0 f a4+b4 2 ' 0.308 > 0 f(b4) ' 0.720 > 0 a5 = a4 = −3.125 b5 = a4+b4 2 = −3.09375 b5 −a5 | {z } >10−2 = 0.03125 Itération 6 a5 = −3.125 a5+b5 2 = −3.109375 b5 = −3.09375 f(a5) ' −0.119 < 0 f a5+b5 2 ' 0.096 > 0 f(b5) ' 0.308 > 0 a6 = a5 = −3.125 b6 = a5+b5 2 = −3.109375 b6 −a6 | {z } >10−2 = 0.015625 2