Tiêu đề Chương 1. Các bài toán cực trị về tam giác.doc ✅

Chương 1 Các bài toán cực trị về tam giác 1.1 Giản lược kiến thức cơ bản Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng được gọi là bài toán cực trị. Giả sử A là một biểu thức (một biến hoặc nhiều biến). a) số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của A nếu thỏa mãn 2 điều kiện:  Am với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định biểu thức A;  Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m. Kí hiệu: minmA . b) số M được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu thỏa mãn hai điều kiện:  AM với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định biểu thức A;  Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m. Kí hiệu: max.MA Bất đẳng thức tam giác a) Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có ABACBC Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn thẳng BC. b) Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc bất kì có hai đầu là A và B. Đường vuông góc, đường xiên a) Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất. b) Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại. Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác a) Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại. b) Đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau và ngược lại. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông a) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, ta có: 1. 22.;.ABBHBCACCHCB 2. 2.AHHBHC 3. ..AHBCABAC 4. 222BCABAC 5. 222 111 AHABAC b) Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có: 1. .sin.cosABBCCBCB 2. .sin.cosACBCBBCC 3. .tan.cotABACCACB 4. .tan.cotACABBABC 5. 1 ..sin 2ABCSBABCB c) Nếu 90 thì:  sincos; cossin  tancot; cottan  0sin1; 0cos1  22sincos1  tan.cot1  sin tan cos     cos cot sin    Bất đẳng thức về các giá trị trung bình của hai số dương a và b
22 2 1122 abab ab ab    Hệ thức lượng trong tam giác thường Cho tam giác ABC bất kì với AH là đường cao. a) Nếu góc A nhọn thì 222 2.BCABACABAH b) Nếu góc A tù thì 222 2.BCABACABAH c) Nếu M là trung điểm cạnh BC thì 2 222 2 2 BC ABACAM Định lý Heron (Hêrông) Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B nằm về cùng một nửa mặt phẳng có bờ là xy (A, B không thuộc xy). Điểm C thuộc đường thẳng xy. Khi đó AC + CB nhỏ nhất  AC và BC tạo bởi xy các góc bằng nhau. Chú ý: Hêrông là nhà toán học Hy Lạp sống ở thành phố cổ A – lếch – xan – đri vào thế kỉ thứ nhất sau Công Nguyên. Chu vi – Diện tích a) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất. b) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. c) Cho tam giác ABC có ,,,2ABcBCaCAbabcp ; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có hệ thức .ABCSpr . Bất đẳng thức Bunhiakopski a) Cho các số thực ,,,abxy . Ta có bất đẳng thức 22222axbyabxy Dấu "" xảy ra aybx . b) Cho các số thực ,,c,,,abxyz . Ta có bất đẳng thức 2222222axbyczabcxyz Dấu "" xảy ra abc xyz ( ,,xyz khác 0). Bất đẳng thức Côsi Cho ba số a, b, c không âm. Ta có 3 3 abc abc  Dấu "" xảy ra abc . 1.2. Các bài toán vận dụng Bài 1: Cho hai làng A và B nằm về một phía của một bờ sông thẳng. Hãy tìm một vị trí M trên bờ sông để xây một cây cầu sao cho tổng các khoảng cách MA + MB có độ dài bé nhất.
Hướng dẫn Giả sử hai bờ sông là a và b. Gọi A là điểm đối xứng của A qua bờ a. AB giao cắt bờ sông a tại M thì M chính là vị trí đầu cầu M cần xác định (của cây cầu MN vuông góc với 2 bờ sông a, b). Thật vậy, áp dụng định lý Hêrông, ta có MAMBACCB với C là vị trí khác M trên bờ a. Bài 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox một điểm A, trên Oy một điểm B sao cho tam giác AMB có chu vi bé nhất. Hướng dẫn Gọi N, P tương ứng là các điểm đối xứng của M qua Ox và Oy. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của NP với Ox và Oy. Khi đó, tam giác AMB có chu vi bé nhất. Thật vậy, nếu C là 1 điểm trên Ox, C khác A, và D là 1 điểm trên Oy, D khác B. Chu vi CMDCMCDDMCNCDDPNP = Chu vi (AMB). Bài 3: Cho góc nhọn xOy và hai điểm A, B phân biệt nằm ở trong góc  xOy . Hãy xác định điểm M trên cạnh Ox và điểm N trên cạnh Oy sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn Dựng A đối xứng với điểm A qua cạnh Ox. Dựng B đối xứng với điểm B qua cạnh Oy. Dựng đường thẳng đi qua hai điểm ,AB . Đường thẳng này cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N. Ta có độ dài đường gấp khúc AMNB bằng 1. 1AMMNNBAMMNNBAB . Các điểm M, N chính là các điểm cần xác định thỏa yêu cầu bài toán. Bài 4: Cho góc nhọn xOy và hai điểm A và B nằm ở miền trong góc đó. Hãy xác định điểm N trên tia Oy và điểm M trên tia Ox sao cho đường gấp khúc ANMB có độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn Dựng A đối xứng với điểm A qua cạnh Oy. Dựng B đối xứng với điểm B qua cạnh Ox. Đường thẳng AB cắt Oy và Ox tương ứng tại N và M thì có độ dài đường ANMB thỏa mãn. Bài 5: Cho trước đoạn thẳng BC và một độ dài h. Hãy dựng điểm A cách đường thẳng BC một đoạn bằng h sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Hướng dẫn Điểm A cách BC một khoảng bằng h. Do đó, A thuộc đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng h. Xét chu vi ABCBCABAC vì BC không đổi nên chu vi (ABC) nhỏ nhất ABAC nhỏ nhất. Bài toán đưa về tìm A trên xy sao cho BA + CA nhỏ nhất, B và C nằm về cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy. Áp dụng định lý Herông, ta dựng được điểm A thuộc xy và tam giác ABC cân tại A. Bài 6: Cho đoạn thẳng BC cố định. Điểm A thay đổi sao cho tổng các khoảng cách ABBCa (không đổi). Hãy tìm trong số tất cả các tam giác ABC thỏa mãn điều kiện trên, một tam giác có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn
Ta chứng minh cho tam giác cân ABC có 2 a ABAC là tam giác có diện tích lớn nhất. Thật vậy, gọi S là diện tích tam giác cân ABC có 2 a ABAC . Nếu tam giác DBC có cùng diện tích S, thì A và D thuộc đường thẳng xy song song với BC. Theo bài toán trên đây, ta có DBDCABACa . Nếu tam giác DBC có diện tích SS . Khi đó, trong số các tam giác có cạnh BC cố định và cùng diện tích S thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất. Nhưng khi đó DBDCABACa . Vậy tam giác cân ABC có 2 a ABAC có diện tích lớn nhất. Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hãy tìm trên các cạnh BC, CA, AB các điểm tương ứng M, N, P sao cho tam giác MNP có chu vi nhỏ nhất. Hướng dẫn Trước hết, nhận xét: nếu cố định điểm M trên cạnh BC thì tam giác MNP có chu vi nhỏ nhất ,NP tương ứng là giao điểm của MM với các cạnh AB, AC, trong đó ,MM tương ứng là các điểm đối xứng của M qua AB và AC (xem bài 1). Bài toán đưa về dựng điểm M trên cạnh BC để đoạn thẳng MM có độ dài ngắn nhất. Ta có ,AMAMAMAM AMAM  tam giác AMM cân tại A và có 2MAMBAC (không đổi). Do đó, 2.sinMMAMBAC nhỏ nhất AM nhỏ nhất AM bé nhất M là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC. Suy ra cách dựng như sau: - Dựng đường cao AH của tam giác ABC. - Dựng K, L lần lượt là các điểm đối xứng với H qua các cạnh AB và AC. - Đường thẳng KL cắt AB, AC tương ứng tại N, P. Ta có tam giác HNP có chu vi bé nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài. Nhận xét: Xét tam giác HNP. Ta có NB là phân giác góc ngoài tại N, PC là phân giác góc ngoài tại đỉnh P, hai phân giác này cắt nhau tại A, suy ra HA là phân giác của góc trong tại đỉnh H. Ta lại có BCAH , suy ra HB là phân giác của góc ngoài tại đỉnh H, mà HB cắt PC tại C. Do đó, NC là phân giác trong của góc N. Vậy CNAB . Lập luận tương tự, ta có BPAC . Vậy tam giác HNP có chu vi nhỏ nhất chính là tam giác có ba đỉnh H, N, P tương ứng là chân ba đường cao AH, CN, BP của tam giác ABC. Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xét tập hợp các tam giác MNP nội tiếp tam giác ABC. Ba đỉnh M, N, P nằm trên ba cạnh của tam giác. Hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất. Hướng dẫn Xem nhận xét bài toán 7 trên đây. Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có ,ABcACb . Điểm M di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các cạnh AB, AC. Xác định vị trí điểm M để EF có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo b và c. Hướng dẫn Khi M trùng với H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. 22 . minABACbc EFAH BCbc 