Tiêu đề MỤC 8. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP - ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP.pdf ✅

Mục 8: ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP - ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP Các kiến thức cơ bản bắt buộc phải nhớ 1. Định nghĩa: * Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn. * Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn. 2. Định lí: Bất kỳ đa giác nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. BÀI TẬP Bài 172: (61 /91 /SGK T2) a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm. b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a). c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn . O;r  Giải a) Vẽ đường tròn . O;2cm b) Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau tại O. Nối A, B, C, D với nhau ta được hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) có bán kính dài 2cm. c) Kẻ đường cao OH ứng với cạnh AB . H  AB AOB có cân OA  OB R  AOB tại O. Lại có (vì theo tính AOB  90 AC  BD chất đường chéo của hình vuông, nên vuông cân AOB tại O.  . 2 2 2 OB R  OH   cm Bài 173: (62 /91 /SGK T2) a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh . a  3cm b) Vẽ tiếp tuyến đường tròn O;R ngoại tiếp tam giác đều ABC, tính R. c) Vẽ đường tròn O;r  nội tiếp tam giác đều ABC tính r. d) Vẽ tam giác đều IJK ngoại tiếp được tròn . O;R Giải a) Vẽ ABC đều cạnh bằng 3cm.
Cách vẽ: Muốn vẽ một tam giác đều ABC có cạnh dài 3cm ta vẽ: - Vẽ đoạn thẳng BC dài 3cm. - Lấy B làm tâm vẽ cung tròn bán kính 3cm. - Lấy C làm tâm vẽ cung tròn bán 3cm. - Cũng trên tâm B và cũng trên tâm C cắt nhau tại A. Nối A với B, nối A với C ta được tam giác đều ABC cạnh có độ dài 3cm. b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC và các tiếp tuyến tại A, B, C. Cách vẽ: - Vẽ các đường cao AH, BE ứng với cạnh BC và cạnh AC. AH và BE cắt nhau tại O. O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp vì O cách ABC đều A, B, C vì tam giác đều ba đường cao đồng thời ba đường trung tuyến, trung trực, phân giác. - Vẽ đường tròn tâm O bán kính . OA  R Ta có: .   2 2 3 . 3 3 3 3 AB R  OA  AH   cm c) Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC. Đường tròn nội tiếp một tam giác có tâm là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó. ABC là tam giác nên O là giao điểm của ba đường cao AH, BE, CF đồng thời O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác này. Vẽ đường tròn tâm O bán kính là OH  r đường tròn nội tiếp . ABC Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác thì . 1 3 OA  AH AHB vuông tại H (tam giác đều đường phân giác cũng là đường cao) nên: (Định lí 2 2 2 AB  AH  HB Pi-ta-go) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a a AH AB BH a a              mà nên: (vì ) 2 2 2 2 4 3 3 3 4 4 4 2 a a a a a AH       1 3 OH  AH 1 3 1 3 3 . . 3 2 3 2 a OH  r   a  3cm   . 3 2  cm d) Vẽ IJK đều ngoại tiếp đường tròn . O;R
Biết rằng tam giác ngoại tiếp đường tròn, thì đường tròn nội tiếp tam giác đó. Do đó tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn thì O;R đường tròn O;R nội tiếp tam giác này tâm O  của chính là O;R giao điểm của ba đường trung trực, phân giác, đường cao của tam giác đều IJK. Từ đó ta có cách vẽ. Vẽ ba đường thẳng ứng với OA, OB, OC tại A, B, C ba đường thẳng này cắt nhau tại I, J, K, IJK chính là tam giác đều phải vẽ. Bài 174: (63/92 /SGK T2) Vẽ lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp O;R rồi tính cạnh của các hình đó theo R. Giải * Vẽ đường tròn tâm . O;R - Biết rằng lục giác đều nội tiếp đường tròn, nối cạnh là một dây cung căng một cung có số đo là . 60 Từ đó suy ra cách vẽ lục giác đều nội tiếp đường tròn O;R như sau. Trên đường tròn O;R vừa vẽ đặt liên tiếp các cung: AB, BC, CD, DE, EF có các dây căng các cung này có độ dài bằng R. (Đường tròn bảng nên 6 cung thì 360 mỗi cung bằng ). 60  AOB là tam giác đều  OA  OB  AB  R  Mỗi cạnh của lục giác đều ABCDEF có độ dài bằng R. * Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn . O;R Tứ giác lớn và dây AD  2R nhỏ BC = R hai cạnh bên AB và CD = R. Vậy đáy lớn AD của hình thang cân ABCD chính là đường kính. Vẽ đường kính . PQ  AD Nối A với Q và A với D; nối D với Q và D với P ta được hình vuông AQDP nội tiếp đường tròn . O;R * Vẽ tam giác đều nội tiếp đường tròn . O;R Biết rằng tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau, khi tam giác đều nội tiếp đường tròn thì ba cạnh là ba dây cung căng ba cung bằng nhau, mỗi cung là . Do 120 đó ta có cách vẽ: Nối A với C, nối C với E, nối E với A được là tam giác ACE đều vì    nội  AC  CE  EA 120  A tiếp chắn nên . CE 120 Từ đó có . A  60   C  E  60 * Tính cạnh của các hình trên. - Đã biết cạnh của lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn O;R bằng R. - Cạnh của hình vuông AQDP là AQ AOQ vuông cân tại O nên (Định lí Pi-ta-go) 2 2 2 2 2 AQ  OA  OQ  R  R 2  AQ  2R  R 2 - Tính cạnh của ACE đều
Biết rằng . 2 2 3 12.3 . . 3 3 3 2 3 OA  AH  AC  AC   R Bài 175: (64/ 92/ SGK T2) Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ A ba cung AB, BC, CD sao cho sñAB  60; sñBC  90; sñCD 120 a) Tứ giác ABCD là hình gì? b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau. c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R. Giải Đường tròn O;R GT sñAB  60; sñBC  90; sñCD 120 * ABCD là hình thang cân KL * AC  BD * Tính độ dài của AB, BC, CD, DA. Chứng minh a) Chứng minh ABCD là hình thang cân. Muốn chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân. Bước 1: Phải chứng minh được tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song. Bằng trực giác ta thấy phải chứng minh . AB / /CD Muốn chứng minh dây dây CD; ta AB / / phải chứng minh . BAC  ACD Muốn chứng minh hai góc nội tiếp ta BAC AOD phải chứng minh hai cung bị chắn BC với cung AD bằng nhau. Theo giả thiết: AB  60; cung BC  90; CD 120  AB BC CD  60  90 120  270  DA 360  270  90  BC  AD  90  BAC  ACD (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau) mà và là hai góc BAC ACB ở vị trí so le nên AB / /CD  Tứ giác ABCD là hình thang (Theo định nghĩa: Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang) (1)  (Theo định lí góc nội tiếp) mà       sñ sñ 2 AB BC ADC BC  AD  90 nên (2) ADC  BCD Từ (1) và (2) ta có: Hình thang ABCD là hình thang cân (Theo định lí: Hình thang cân có hai góc kề với mỗi đáy bằng nhau). b) Chứng minh AC  BD