Tiêu đề Đề Thi Olympic Toán Trại Hè Hùng Vương 2012 (Khối 10) [Đáp Án].pdf ✅

WWW.MOLYMPIAD.ML TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG KỲ THI OLIMPIC HÙNG VƯƠNG NĂM 2012 LẦN THỨ VIII - CAO BẰNG MÔN THI: TOÁN - LỚP 10 Thời gian: 150' không kể thời gian giao đề ( Đề gồm 01 trang) Câu 1 ( 5 điểm ): Giải phương trình: 2 2 3 (3 1) 2 1 5 3 2 x xx x + −= + − Câu 2 ( 5 điểm ): Giải hệ phương trình: 12 1 2 3 12 1 6 3 x y x y y x ⎧⎛ ⎞ ⎪ − = ⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ + ⎨ ⎪⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ + ⎩ Câu 3 ( 3 điểm): Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn: ( ) ( ) 444 222 9 25 48 0 abc abc ++ − ++ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 222 22 2 abc P b cc aa b =++ + + + . Câu 4 ( 5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, phân giác trong AD. Đường tròn đường kính AD cắt đường thẳng BC tại H, cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N. Chứng minh rằng các đường thẳng CM, BN, AH đồng quy. Câu 5 (2 điểm): Chứng minh rằng trong dãy 9; 99; 999; 9999;... có vô số số hạng chia hết cho 17. ---------------------------- Hết ---------------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ...............................................; Số báo danh:.............................. ĐỀ CHÍNH THỨC
WWW.MOLYMPIAD.ML TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2012 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN – LỚP 10 Câu Đáp án Điểm Câu 1 5,0 Điều kiện : 2 2 x ≥ Phương trình tương đương với : ( ) 2 2 2 3 1 2 1 10 3 6 x x xx + −= + − ( ) ( ) 2 22 ⇔ − − + −+ − − = 42 1 23 1 2 1 2 3 2 0 x x x xx (1) đặt 2 2 1 ( 0) x tt −= ≥ khi đó phương trình (1) trở thành: ( ) ( ) 2 2 4 23 1 2 3 2 02 t x tx x − + + − −= phương trình (2) có ( ) ( ) ( ) ' 2 2 2 Δ= + − + − = − 3 1 42 3 2 3 x xx x phương trình (2) có nghiệm: ( ) ( ) 31 3 2 4 2 31 3 2 1 4 2 x x x t x x x t ⎡ +− − + = = ⎢ ⎢ ⎢ ++ − − = = ⎢ ⎣ ⇒ 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 x x x x ⎡ + = − ⎢ ⎢ − ⎢ = − ⎢⎣ 2 2 2 2 60 7 4 80 7 1 1 6 2 2 4 4 50 x x x x x x x x ⎡⎧ ≥ − ⎢⎨ ⎡ ± ⎢⎩ − −= ⎢ = ⇔ ⇔ ⎢ ⎢ ⎧ ⎢⎪ ≥ ⎢ − + ⎢⎨ ⎢ = ⎣ ⎢⎪ ⎩ + −= ⎣ (tm ĐK) Vậy phương trình có hai nghiệm : 2 60 1 6 , 7 2 x x ± −+ = = 0,5 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 Câu 2 5,0 Điều kiện: 0; 0; 3 0 x ≥ ≥ +≠ y yx . + Nhận thấy x = 0, y = 0 không là nghiệm của hệ. + Với x ≠ ≠ 0, 0 y 12 1 2 3 12 1 6 3 x y x y y x ⎧⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ − = ⎪⎝ ⎠ + ⎨ ⎪⎛ ⎞ + = ⎪⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎩ 12 2 1 3 12 6 1 3 y x x y x y ⎧ − = ⎪ ⎪ + ⇔ ⎨ ⎪ + = ⎪ + ⎩ 0,5 0,5 1,0
WWW.MOLYMPIAD.ML 1 3 1 1 3 12 3 x y x y y x ⎧ + = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ − ⎪ − = ⎪ + ⎩ Suy ra 1 9 12 2 2 6 27 0 3 y xy x xy y x − − = ⇒+ − = + 2 6 27 0 3 yy y xx x ⎛⎞ ⎛⎞ ⇒ + − =⇔ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ; 9 y x = − (loại) Với 3 3 y y x x =⇔ = suy ra ( ) ( ) 2 2 x y =+ = + 1 3 ; 31 3 1,0 1,0 1,0 Câu 3 3,0 Từ giả thiết ( ) ( ) 444 222 9 25 48 0 abc abc ++ − ++ + = suy ra ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 222 444 222 2 222 222 222 25 48 9 48 3 3 25 48 0 16 3 3 abc abc abc abc abc abc ++ =+ ++ ≥+ ++ ⇒ ++ − ++ +≤ ⇒≤ + + ≤ Biến đổi 222 22 2 abc P b cc aa b =++ ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 444 222 222 22 2 22 2 2 abc abc ab c bc a ca b ab bc ca ac ba cb + + ++≥ ++ + +++ ++ Lại có: ( )( ) 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 a b b c c a a ab b bc c ca a b c a b b c c a + + = + + ≤ ++ + + ... ( ) ( )2 222 2 2 2 222 3 abc ab bc ca a b c + + ⇒ + + ≤ ++ Tương tự ( )( ) ( )2 222 2 2 2 222 3 abc ac ba cb a b c + + + + ≤ ++ Từ đó ( ) 222 1 3 abc P + + ≥ ≥ Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. GTNN P =1. 1,0 1,0 1,0
WWW.MOLYMPIAD.ML H N M D A B C Câu 4 5.0 Xét tích T .. MA HB NC MB HC NA = (1) 1.0 Do AD là phân giác của n nê (2) DB AB BAC n DC AC = 1.0 Do tứ giác AMDN nội tiếp nên có . . , CN.CA = CD.CH , (3) BA BH CD CN BM BA BH BD BD BM CA CH = ⇒= = 1.0 Do AD là phân giác của M nAN và AD là đường kính nên AM = AN (4) 1.0 Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được T . . 1. . . 1 MA HB NC BA CD BA CD NA MB HC BD CA CA BD = = == Do đó các đường thẳng CM, BN, AH đồng quy. 1.0 Câu 5 2,0 Vì (17,10) = 1 (1) và 17 là số nguyên tố nên theo định lý Fecma nhỏ ta có :( ) 17 10 10 17 − # ( ) ( ) 16 ⇒ − 10 10 1 17 2 # Từ (1) và (2) suy ra ( ) 16 16 10 1 17 10 1 mod17 − # ⇒ ≡ Do đó, với mọi n nguyên dương thì ( ) 16. 16. 10 1 mod17 10 1 17 n n ≡ ⇒ − # Mặt khác 16. N.16 10 1 99...9 n n − = Vậy có vô số số hạng của dãy 9; 99; 999; 9999;... chia hết cho 17. 0,5 0,5 0,5 0,5 Lưu ý khi chấm bài: - Nếu học sinh giải đúng theo cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn. -------------------------Hết------------------------