Tiêu đề GT1_GK_241_CA1 - Giải chi tiết.pdf ✅

Group: HCMUT - NHÓM HỌC TẬP Biên soạn: ĐẶNG TIẾN QUANG Giải tích 1 - Giải đề giữa kỳ HK 241 ca 1 Fanpage: GIẢI TÍCH HCMUT Address: https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Biên soạn: ĐẶNG TIẾN QUANG Câu 1. (L.O.1) Giới hạn nào sau đây có dạng vô định A. lim x→π 2 (sin x) 1 x B. lim x→+∞ (ln x − e −x ) C. limx→0 cot x − 1 x D. Các câu khác sai. E. lim x→−∞ x e x − 1 Lời giải. A. lim x→π 2 (sin x) 1 x = 1 2 π = 1 → không có dạng vô định B. lim x→+∞ (ln x − e −x ) = ln(+∞) − e −∞ = +∞ − 0 = +∞ → không có dạng vô định C. limx→0 cot x − 1 x = ±∞ − ±∞ → là dạng vô định (indeterminate form) E. lim x→−∞ x e x − 1 = −∞ e −∞ − 1 = −∞ 0 − 1 = +∞ → không có dạng vô định Chọn đáp án C □ Câu 2. (L.O.2) Một đợt dịch cúm xảy ra tại một trường học có 763 học sinh. Qua thống kê người ta ước tính, nếu có x học sinh có nguy cơ nhiễm bệnh (hiện vẫn chưa bệnh) thì sẽ có P(x) học sinh bị nhiễm, với P(x) = 192 ln x 762 − x + 763 (x ≥ 16). Số học sinh tối đa bị nhiễm bệnh sẽ là A. 763 B. 214 C. 192 D. 312 E. Các câu khác sai. Lời giải. P ′ (x) = 192 · 1 x − 1 P ′ (x) = 0 ⇔ x = 192 Lập bảng biến thiên: x P ′ (x) P(x) 16 192 763 + 0 − 5.2 306.3 0.3 Số học sinh tối đa bị nhiễm bệnh là Pmax = 306 Chọn đáp án E □ h https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 1
Group: HCMUT - NHÓM HỌC TẬP Biên soạn: ĐẶNG TIẾN QUANG Câu 3. (L.O.1) Số nào sau đây không nằm trong miền giá trị của f(x) = 2 cosh 1 x + 1 −1? A. 4 B. Các câu khác sai. C. 2 D. 1 E. 3 Lời giải. x y 0 1 y = cosh x Cần nhớ: f(x) = cosh(x) Df = (−∞, +∞) Rf = [1, +∞) cosh(x) ≥ 1 cosh(0) = 1 f là hàm chẵn Đồ thị đối xứng qua Oy f(x) = 2 cosh 1 x + 1 − 1 Miền xác định: Df = R \ {−1} Vì 1 x + 1 ̸= 0, ∀x ∈ Df nên cosh 1 x + 1 > 1 ⇒ 2 cosh 1 x + 1 − 1 > 2 · 1 − 1 = 1 Miền giá trị: Rf = (1, +∞) Chọn đáp án D □ Câu 4. (L.O.1) Miền xác định của f(x) = arcsin 2 x 2 + 2 là A. Các câu khác sai. B. [−1, 1] C. h − √ 2, √ 2 i D. R E. h − π 2 , π 2 i Lời giải. Điều kiện xác định: −1 ≤ 2 x 2 + 2 ≤ 1 Vì x 2 + 2 ≥ 2, ∀x ∈ R nên 0 < 2 x 2 + 2 ≤ 2 2 = 1, ∀x ∈ R → luôn thỏa điều kiện xác định Vậy miền xác định của f(x) là Df = R Chọn đáp án D □ Câu 5. (L.O.1) Hệ số của (x − 7)2 trong khai triển Taylor cấp 2 của hàm số f(x) = xe x tại x0 = 7 là A. 9e7 2 B. − 7e7 2 C. e 7 2 D. Các câu khác sai. E. 7e7 2 Lời giải. Công thức khai triển Taylor của hàm f(x) tại x0 là f(x) = f(x0) + f ′ (x0) 1! (x − x0) + f ′′(x0) 2! (x − x0) 2 + f ′′′(x0) 3! (x − x0) 3 + ... + f (n) (x0) n! (x − x0) n Hệ số của (x − 7)2 trong khai triển Taylor của f(x) = xe x tại x0 = 7 là f ′′(7) 2! Ta có: f ′ (x) = ex + xe x ⇒ f ′′(x) = ex + ex + xe x ⇒ f ′′(7) = 9e7 Hệ số của (x − 7)2 là f ′′(7) 2! = 9e7 2 Chọn đáp án A □ h https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 2
Group: HCMUT - NHÓM HỌC TẬP Biên soạn: ĐẶNG TIẾN QUANG Câu 6. (L.O.1) Cho f(x) =    a 2 + 6ax, nếu x ≤ −1 2x 2 − x − 3 x + 1 , nếu x > −1 Tất cả các giá trị thực a để f liên tục tại x = −1 là A. 0; −5 B. −1; 5 C. 1; 5 D. Không tồn tại E. Các câu khác sai. Lời giải. f(x) liên tục tại x = x0 khi và chỉ khi lim x→x − 0 f(x) = lim x→x + 0 f(x) = f(x0) lim x→−1+ f(x) = lim x→−1+ 2x 2 − x − 3 x + 1 = lim x→−1+ (x + 1)(2x − 3) x + 1 = lim x→−1+ (2x − 3) = −5 lim x→−1− f(x) = f(−1) = a 2 − 6a f(x) liên tục tại x = −1 ⇔ a 2 − 6a = −5 ⇔ a = 1 hoặc a = 5 Chọn đáp án C □ Câu 7. (L.O.2) Quan sát sự thay đổi số lượng dơi trong một khu rừng, người ta thấy tốc độ gia tăng số lượng dơi có thể được mô tả bởi phương trình P ′ (t) = 0.6P(t) 1 − P(t) 2080 , trong đó P(t) là số dơi ở năm thứ t kể từ thời điểm bắt đầu theo dõi. Số lượng dơi tăng nhanh nhất khi P(t) đạt giá trị A. 2080 B. 1040 C. 520 D. 4160 E. Các câu khác sai. Lời giải. Ta có P ′ (t) = 0.6P(t) 1 − P(t) 2080 = 0.6 2080 P(t) 2080 − P(t) (∗) Suy ra P ′′(t) = 0.6 2080 P ′ (t). 2080 − P(t) − 0.6 2080 P(t).P′ (t) = 0.6 2080 P ′ (t). 2080 − 2P(t) = 0.6 2080 . 0.6 2080 P(t) 2080 − P(t) . 2080 − 2P(t) P ′′(t) = 0.6 2 20802 2080 − P(t) . 2080 − 2P(t) (∗∗) Ta có P ′ (t) > 0 (tốc độ TĂNG số lượng dơi) và P(t) > 0, từ (∗) suy ra P(t) < 2080 Từ (∗∗) suy ra P ′′(t) = 0 ⇔ P(t) = 1040 P ′′(t) > 0 khi 2080 − 2P(t) > 0 ⇔ P(t) < 1040 và P ′′(t) < 0 khi 2080 − 2P(t) < 0 ⇔ P(t) > 1040 Suy ra P ′′(t) đổi dấu từ dương sang âm tương ứng với P ′ (t) đạt lớn nhất khi P(t) = 1040 P(t) P ′′(t) P ′ (x) P0 1040 2080 + 0 − GTLN O t M 2 M P(t) ln C k , điểm uốn (tốc độ tăng đạt lớn nhất/nhanh nhất) P ′ (t) = kP(t) 1 − P(t) M P0 C = M − P0 P0 Chọn đáp án B □ h https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 3
Group: HCMUT - NHÓM HỌC TẬP Biên soạn: ĐẶNG TIẾN QUANG Câu 8. (L.O.1) Điểm tới hạn của hàm số f là điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Số điểm tới hạn và số điểm cực tiểu của f(x) = x + 2 + 9p3 (2x − 1)2 lần lượt là A. Các câu khác sai. B. 2; 1 C. 2; 0 D. 1; 1 E. 1; 0 Lời giải. f ′ (x) = 1 + 9 · 2 3 · (2x − 1)− 1 3 · 2 = 1 + 12 √3 2x − 1 = √3 2x − 1 + 12 √3 2x − 1 f ′ (x) = 0 ⇔ √3 2x − 1 + 12 ⇔ x = −123 + 1 2 = − 1727 2 f ′ (x) không tồn tại khi √3 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 2 ⇒ Có 2 điểm tới hạn (critical points) x f ′ (x) f(x) −∞ − 1727 2 1 2 +∞ + 0 − + CĐ CT ⇒ Có 1 điểm cực tiểu (local minimum) Chọn đáp án B □ Câu 9. (L.O.1) Giá trị a nào dưới đây làm cho đường cong y = √ 1 − 3x + a x chỉ có 1 đường tiệm cận? A. −2 B. −1 C. 3 D. Các câu khác sai. E. 0 Lời giải. Miền xác định của hàm y = √ 1 − 3x + a x là D = (−∞, 1/3] \ {0} Ta có lim x→−∞ √ 1 − 3x + a x = 0 ⇒ đường cong y = √ 1 − 3x + a x có 1 tiệm cận ngang là y = 0. Để đường cong chỉ có 1 đường tiệm cận thì đường cong không có tiệm cận đứng tại x = 0 Suy ra limx→0 √ 1 − 3x + a x có dạng 0 0 hay √ 1 + a = 0 ⇔ a = −1 Chọn đáp án B □ Câu 10. (L.O.1) Cho f(x) = x 2 − 3x + 2 và g(x) = 7x + 23, nếu x ≤ −1 5x, nếu x > −1 . Giá trị của (f ◦ g)(−3) là A. −15 B. 20 C. 2 D. Các câu khác sai. E. 0 Lời giải. (f ◦ g)(−3) = f(g(−3)) Ta có g(−3) = 7 · (−3) + 23 = 2 Suy ra (f ◦ g)(−3) = f(g(−3)) = f(2) = 22 − 3 · 2 + 2 = 0 Chọn đáp án E □ h https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 4