Tiêu đề TOÁN-12_C5_BÀI-2_PHUONG-TRINH-DUONG-THANG_TOÁN-THỰC-TẾ_HDG.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ V – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 1 Sưu tầm và biên soạn V PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÝ THUYẾT. I = = = I I. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯƠNG THẲNG. 1. Định nghĩa: Vectơ u→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu 0u→→ và giá của u→ song song hoặc trùng với đường thẳng  . 2. Nhận xét: a) Nếu u r là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .0→ kuk cũng là VTCP của đường thẳng  . Vậy đường thẳng  có vô số VTCP và các VTCP này cùng phương với nhau. b) Nếu  đi qua hai điểm A và B thì AB uuur là một VTCP của đường thẳng D . c) Nếu D là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau P và Q thì PQun;n  →→→ - là một VTCP của đường thẳng  (với PQn;n→→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng P;Q ). II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. 1. Định nghĩa: Cho đường thẳng  đi qua điểm 0000;;zMxy và có vectơ chỉ phương 123;;→ uuuu a) Phương trình tham số của đường thẳng  là: 01 02 03 () xxut yyutt zzut       ℝ b) Phương trình chính tắc của đường thẳng D là: 000 123 xxyyzz uuu --- == (với 1230uuu ). 2. Chú ý: Cho đường thẳng  có phương trình là: 01 02 03 (t) xxut yyut zzut       ℝ 123;;→ uuuu - là một VTCP của  . 010203;;MMxutyutzut
CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 2 Sưu tầm và biện soạn III. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG; GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG. 1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ()a có vectơ pháp tuyến ();;nABC=r và đường thẳng D có vectơ chỉ phương ()123;;uuuu=r . Gọi j là góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng ()a , 090oo£j£ , ta có: n.usincosn;u n.u  →→ →→ →→ 2. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  có vectơ chỉ phương 123;;→ uuuu và đường thẳng ¢D có vectơ chỉ phương 123;;→ uuuu . Gọi j là góc giữa đường thẳng  đường thẳng ¢D , 090oo£j£ , ta có: ().coscos; . uu uu uu ¢ ¢j== ¢ urr urr urr IV. KHOẢNG CÁCH. 1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Trong không gian Oxyz ,cho điểm M và đường thẳng D đi qua điểm ()0000;;Mxyz , có VTCP ()123;;uuuu=r .Khoảng cách giữa M và  là: ()0; ; MMu dM u éù êú ëû D= uuuuurr r 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng D đi qua điểm ()0000;;Mxyz , có VTCP 123;;uuuu→ và đường thẳng ¢D đi qua điểm ()0000;;Mxyz¢¢¢¢ , có VTCP ()123;;uuuu¢¢¢¢=ur Giả sử //¢DD , khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng D và ¢D là: ()()()00;;;ddMdM¢¢¢DD=D=D 3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng D đi qua điểm ()0000;;Mxyz , có VTCP ()123;;uuuu=r và đường thẳng ¢D đi qua điểm ()0000;;Mxyz¢¢¢¢ , có vectơ chỉ phương ()123;;uuuu¢¢¢¢=ur Giả sử  và  là hai đường thẳng chéo nhau, khi đó khoảng cách giữa chúng là: ()0;. ; ; uuMM d uu éù ¢ êú ëû ¢DD= éù ¢ êú ëû urruuuuur urr
CHUYÊN ĐỀ V – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 3 Sưu tầm và biên soạn V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG; VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ()D và ()¢D biết rằng: D đi qua điểm ()0000;;Mxyz và có VTCP ()123;;uuuu=r 01 02 03 : xxut yyut zzut ì=+ï ï ïï ÞD=+í ï ï ï=+ ïî ¢D đi qua điểm ()0000;;Mxyz¢¢¢¢ và có VTCP ()123;;uuuu¢¢¢¢=ur 01 02 03 : xxut yyut zzut 좢¢=+ï ï ï ï ¢¢¢¢ÞD=+í ï ï ¢=+ ïî Cách 1: Xét hệ phương trình 0101 0202 0303 xutxut yutyut zutzut 좢¢+=+ï ï ï ï ¢¢¢+=+í ï ï ¢+=+ ïî (ẩn ,tt¢ ) (1). a) //'DDÛ hệ phương trình (1) vô nghiệm và hai vectơ u r , u¢ur cùng phương. b) D và ¢D chéo nhau Û hệ phương trình (1) vô nghiệm và hai vectơ u r , u¢ur không cùng phương. c) D và ¢D trùng nhau Û hệ phương trình (1) có vô số nghiệm. d) D và ¢D cắt nhau Û hệ phương trình (1) có đúng một nghiệm. Cách 2: a) //¢DDÛ u r , u¢ur cùng phương và 0M¢ÏD Û 00 ,0 ,0 uu uMM ìéùï ¢=êúï ëûï í ïéù ¢ï¹ êúëûï î urrr uuuuuurrr b) D và ¢D trùng nhau Û u r , u¢ur cùng phương và 0M¢ÎD Û 00,,0uuuMMéùéù ¢¢==êú êúëûëû uruuuuuurrrr . c) D và  cắt nhau Û u r , u¢ur không cùng phương và ba vectơ u r , u¢ur , 00MM¢uuuuuur đồng phẳng. Û 00 ,0 ,.0 uu uuMM ìéùï ¢¹êúï ëûï í ïéù ¢¢ï=êú ëûïî urrr uruuuuuurr d) D và ¢D chéo nhau Û u→ , u→ không cùng phương và u→ , u¢ur , 00MM¢uuuuuur không đồng phẳng Û 00,.0uuMM  →→→ . 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ():0AxByCzDa+++= và đường thẳng D có phương trình: () 01 02 03 xxut yyutt zzut ì=+ï ï ïï =+Îí ï ï ï=+ ïî ¡ . Gọi ();;nABC=r là VTPT của mặt phẳng ()a và ()123;;uuuu=r là VTCP của đường thẳng D .
CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 4 Sưu tầm và biện soạn Cách 1: Xét phương trình: ()()()0102030AxutByutCzut+++++= ( t là ẩn) (2) a) Nếu phương trình (2) vô nghiệm thì D và ()a không có điểm chung ()//ÛDa . b) Nếu phương trình (2) có đúng một nghiệm 0tt= thì đường thẳng D cắt mặt phẳng ()a tại điểm ()010020030;;Nxutyutzut+++ . c) Nếu phương trình (2) có vô số nghiệm thì D thuộc ()a// . Cách 2: a) D cắt ()a.0nu→→ b)   .0 //nu MM      →→ c) D thuộc ()a () .0nu MM ìï =ï ï Ûí ïÎDÞÎa ïïî rr HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN THỰC TẾ. Câu 1: Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng Oxy . Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng :250Pxy và :23z200Qxy . Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà lên nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu? Lời giải Những điểm thuộc đường nóc nhà có tọa độ thỏa mãn hệ 250 23z200 xy xy     . Từ phương trình thứ nhất chọn 50xy . Thay vào phương trình còn lại ta được 5z . Vậy điểm 5;0;5A là một điểm thuộc đường nóc nhà. Khi đó chiều cao cần tìm của của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Oxy và bằng 5 mét. Câu 2: Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại ví trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng 60oSE (hướng tạo với hướng nam góc 60o tạo với hướng đông góc 30o ) (hình bên dưới). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O , tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Tính góc tạo bởi đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét với mặt đất.