Tiêu đề CHỦ ĐỀ 8. MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG.doc ✅

CHỦ ĐỀ 8. MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Một số chính phương khi chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1. 2. Một số chính phương khi chia cho 4 có số dư là 0 hoặc 1. 3. Một số chính phương khi chia cho 5 có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4. 4. Một số chính phương khi chia cho 8 có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4. 5. Nếu một số chính phương chia hết cho một số nguyên tố p thì nó chia hết cho 2p . 6. Với mọi số nguyên dương n ta có 3Snnmod . 7. Với mọi số nguyên dương n ta có 9Snnmod . Chữ số tận cùng của một số chính phương 8. Một số chính phương không thể có tận cùng là một trong các chữ số 2,3,7,8. 9. Một số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì phải có chữ số hàng chục là lẻ. 10. Một số chính phương có chữ số tận cùng là 1 thì phải có chữ số hàng chục là số chẵn. 11. Tích 2 số tự nhiên liên tiếp là số chính phương thì phải có 1 số bằng 0. 12. Nếu 2,1,.ababc thì a, b đều là số chính phương. 13. Nếu ,1xy thì 22222;;;1xxyyxyxxxyyx và ;1xyy 222;;1xxyyxyyxy . 14. a, Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p thì 1 1pap⋮ b, Nếu 22abp⋮ mà p là số nguyên tố có dạng 43k thì a, b đều chia hết cho p. Chứng minh: a, Vì a không chia hết cho p nên các số 2,3,...,1aapa cũng không chia hết cho p. Giả sử khi chia các số (,2,3,..).,1aaapa cho p ta được số dư lần lượt là 121,,...,prrr thì các số 121,,...,prrr đôi một khác nhau. Thật vậy nếu có 2 số ,ijrr bằng nhau thì ,iaja có cùng số dư khi chia cho p nên iajapaijpijp⋮⋮⋮ điều này không thể xảy ra do i, j phân biệt và ,ijp . Từ đó ta có: 12.,...,1.2.3.4...11!nrrrpp nên .2.3...1aaapa có cùng số dư với 121,,...,prrr khi chia cho p. Mà 1.2.3...11!paaapapa suy ra 11!ppa và 1!p có cùng số dư khi chia cho p hay 1p a và 1 có cùng số dư khi chia cho p nói cách khác 11pap⋮ . b, Giả sử một trong hai số a, b không chia hết cho p, suy ra số còn lại không chia hết cho p. Theo định lý nhỏ Fermat:  111 1 1 2 1 p pp p ap abp bp         ⋮ ⋮ ⋮ , do 43pk nên 4242 2kkabp⋮ . Ta có 212142422222kkkkababab⋮ mà 22ab chia hết cho P suy ra 2p⋮ , do p là số nguyên tố nên suy ra 2p , trái với giả TH1ết 43pk . Vậy cả a, b đều chia hết cho 3. 15. Một số tính chất liên quan đến đồng dư: Định nghĩa: Cho a, b là các số nguyên và m là số nguyên dương. Ta nói a đồng dư với b theo môđun m nếu có cùng số dư khi chia cho m. Kí hiệu modabm . Như vậy modmabmab⋮ Tính chất: Cho ,,,*.abcmℤℕ Khi đó ta có: + modmmod,odabmbcmacm + modmodabmacbcm + modmodabmacbcm + modmd,onnabmabm với nℤ
+ modnnabba với 0a + Định lý Fermat: Cho số nguyên tố p và số nguyên dương a khi đó ta có: modpaap . Đặc biệt: Nếu ,1ap thì 11modpap Một số ví dụ tiêu biểu Ví dụ 1 Cho a, b, c là những số nguyên khác không, ac sao cho 22 22 aab ccb    . Chứng minh rằng 222 abc không phải là số nguyên tố. Lời giải: Tacó: 222220aabacbac ccb    Từ ac nên 2bac . Khi đó: 22222222222abcaaccaaccbacbacbacb Dễ thấy 2223abc , vì vậy nếu 222abc là một số nguyên tố thì xảy ra bốn trường hợp sau:  1acb và 222acbabc  1acb và 222acbabc  1acb và 222acbabc  1acb và 222acbabc Hai trường hợp đầu tiên ta thu được: 222210abcac 222111acb , do đó 1ac . Hai trường hợp còn lại ta thu được: 22111ac , do đó 1ac . Nhưng ac nên dẫn đến mâu thuẫn. Vậy 222abc không phải là số nguyên tố. Nhận xét: Để chứng minh a là số nguyên tố ta phân tích .abc sau đó suy ra một trong hai thừa số b hoặc c phải bằng 1. Ví dụ 2. Tìm tất cả các số nguyên dưcmg a, b sao cho 444ab là một số nguyên tố. Lời giải: Ta có: 224444222244422ababababab 222222222222abbabababbabab    Vì 221abb nên 44 4ab chỉ có thể là số nguyên tố khi 221abb . Suy ra 1ab thỏa mãn bài toán. Ví dụ 3. Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: 2018 2018 ab bc   là số hữu tỷ và 222 abc là số nguyên tố. Lời giải: Đặt 2018 2018 abm nbc    (*) trong đó ,,0,,1mnnmnℤ . Khi đó (*) được viết lại như sau: 2018anbmbncm . Do 2018 là số vô tỷ và các số 20 ,,,,, 0 anbmamb abcdmnacb bncmbnc    ℤ . Từ đó ta có:
22222222.abcacacbacbabcabc Do a, b, c nguyên dương nên .abcabc Vì vậy để 222abc là số nguyên tố thì điều kiện là: 222 1 b a a bc abcc    . Mặt khác, a, b, c nguyên dương nên 222 abcabc . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1abc . Khi đó 2223abc là số nguyên tố thỏa mãn điều kiện đề bài. Vậy 1abc là 3 số cần tìm. Ví dụ 4. Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện 2222ababcdcd . Chứng minh rằng: abcd là hợp số. Lời giải: Ta có: 22222ababcdcdabcd 22abcdabcdabcdabcdabcd . Giả sử ngược lại, pabcd là số nguyên tố. Thế thì từ abcdpabcd , ta có: 0mod0modabcdpabcabcpcacbp⋮ Nhưng điều này vô lý vì p là nguyên tố và ,,,0abcd nên 0,cacbp . Suy ra ,1cap , vậy không thể có 0modcacbp . Vậy abcd là hợp số. Ví dụ 5. Chứng minh rằng: Nếu 2,2pp là số nguyên tố thì 32p cũng là số nguyên tố. Lời giải: Khi 2p thì 226p là hợp số, không thỏa mãn điều kiện, suy ra 3p Khi 3p , xét 3 số liên tiếp 1,,1ppp luôn phải có một số chia hết cho 3. Nếu 1p hoặc 1p chia hết cho 3 thì 2111ppp chia hết cho 3 suy ra 222133pp⋮ mà 223p suy ra 2 2p là số nguyên tố, điều này trái với giả TH1ết. Vậy p phải là số chia hết cho 3. Mà p là số nguyên tố, suy ra 3p . Thử lại: 3p thỏa mãn điều kiện. Ví dụ 6. Chứng minh rằng: Nếu p và 22pp là số nguyên tố thì 32p cũng là số nguyên tố. Lời giải: Ta có: 2221211121ppppppp . Nếu 2p thì 228pp là hợp số. Khi 3p , xét 3 số liên tiếp 1,,1ppp luôn phải có một số chia hết cho 3. Nếu 1p hoặc 1p chia hết cho 3 thì 2111ppp chia hết cho 3 và 213p⋮ nên 223pp⋮ mà 223pp⋮ nên 2 2pp là hợp số, trái với giả TH1ết. Vậy 3p⋮ , do p là số nguyên tố suy ra 3p . Thử lại ta thấy 23 29817,229ppp là các số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 7. Tìm các số nguyên tố p, q sao cho 321qp⋮ và 621pq⋮ Lời giải:  Nếu 3p thì 319q⋮ và 6312.7.112.pqq⋮  Nếu 3p thì 32111qqqq mà 21,11,q12131,31qqqqqqq hoặc 3. Suy ra 21pq hoặc 22 1pqq suy ra pq . TH1 : 1qp ta có 2,3pq .
TH2: 2qp vì 2221111qpppppp do 222,1,11,1,11,21qpqpppppppp nên suy ra 221qpp hoặc 22 1qpp mà 2qp nên 2222211qppppp nên 2 q không thể là ước của 6 1p . Tóm lại: ;2;3,3;2.pq Ví dụ 8. Cho 3 số tự nhiên a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab là số nguyên tố và 23.cabcab Chứng minh: 81c là số chính phương. Lời giải: Ta viết lại giả TH1ết thành: 224.ccabbccacacb Đặt .;abcdaccdabddb⋮⋮ Vì ab là số nguyên tố nên dab hoặc 1d . + Nếu 1d thì ,acbc là hai số nguyên tố cùng nhau suy ra ,acbc là hai số chính phương. Đặt 22,acmbcn với ,mnℤ . Khi đó 22mnab là số nguyên tố hay mnmn là số nguyên tố 11mnmn nên 22224.2814141121.cmncmncmnnnn + Nếu dab thì ,acabxbcaby với ,xyℤ . Khi đó ()()()()()()11abacbcabxabyabxyxyxy . Khi đó 22241 cacbcabxyabyy suy ra 1yy là số chính phương nên 10081yycc là số chính phương. Chú ý: Tích hai số tự nhiên liên tiếp là số chính phương khi và chỉ khi tích đó bằng 0. Ví dụ 9. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho 44xpy biết p là số nguyên tố. Lời giải: Dễ thấy 0x không thỏa mãn. Suy ra x nguyên dương. Ta có: 42242222xxypyyyyp hay 2 2 22 (*) 22 m n yyp yyp     với ,,,.mnmnmnxℕ  Nếu 0m thì 1y suy ra 5,1.px  Nếu 0n thì 1y không thỏa mãn điều kiện bài toán.  Ta xét ,1.mn Từ (*) ta suy ra p là ước của 2 2 22 4 22 yyp yp yyp     ⋮ ⋮ ⋮ Nếu 42,pp⋮ nếu yp⋮ suy ra 22pp⋮ . Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều có 2p . Thay vào phương trình ban đầu ta được: 442.xy + Nếu 2x thì 0y . + Nếu 3x thì 28x⋮ còn 44y chia 8 dư 5 hoặc 4 nên không tồn tại x, y. Tóm lại cặp số x, y thỏa mãn điều kiện đề bài là ;1;1,2;0.xy Ví dụ 10. Với p là số nguyên tố, đặt 22244222...221ppn . Tìm các số nguyên tố p sao cho 22n không chia hết cho n. Lời giải: Ta có: 22244222...221ppn Dễ thấy n là số lẻ và 21 222442241 22...221. 33 pp pp n   