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M28 - Mesures et Intégration: (2016 - 2017) Chapitre I: Espaces mesurables Allal GHANMI
1 Espaces mesurables 1.1 Clans (Algébres) Dans toute la suite X désignera un ensemble non vide. On notera par P(X) l’ensemble de parties de X. Définition 1.1.1. Une classe C de parties de X est appelée clan (ou algèbre de Boole ou tout simplement algèbre) si: 1. ∅ ∈ C . 2. C est stable par passage au complémentaire dans X: si A ∈ C , alors A{ = X \ A ∈ C . 3. C est stable par réunion: si A, B ∈ C , alors A ∪ B ∈ C . Exemples 1.1.2. Il y a beaucoup d’algèbres sur un ensemble non vide donné X. • La plus grosse est l’algèbre P(X). • La plus petite est {∅, X}. • Soit A ⊂ X. La plus petite algèbre contenant A est la collection constituée de ∅, A, A{ et X. • L’intersection de deux algèbres C1 et C2 sur X, définie par C1 ∩ C2 := {A ⊂ X; A ∈ C1 et A ∈ C2}, est encore une algèbre sur X. Plus généralement, L’intersection d’une famille quelconque d’algèbres sur X est une algèbre sur X. Remarque 1.1.3. Soit C un clan de parties de X. Les propriétés suivantes sont immédiates: 1. X ∈ C . 2. C est stable par différence non symétrique: si A, B ∈ C , alors A \ B ∈ C . 3. C est stable par différence symétrique: si A, B ∈ C , alors A∆B := (A \ B) ∪ (B \ A) ∈ C .
Théorie des Mesures et Intégration - FSR 14-15 4. C est stable par réunion finie: si A1, · · · , An ∈ C , alors A1 ∪ · · · ∪ An ∈ C . 5. C est stable par intersection finie: si A1, · · · , An ∈ C , alors A1 ∩ · · · ∩ An ∈ C . Il y a d’autres systèmes équivalents à l’ensemble des axiomes dans la définition d’une algèbre. On cite par exemple la définition équivalente suivante: Définition 1.1.4. C ⊂ P(X) est un clan sur X si et seulement si 1. X ∈ C non vide. 2. C est stable différence non symétrique. 3. C est stable par réunion. 1.2 Tribus (σ-Algébres) Définition 1.2.1. Une collection C de parties de X, C ⊂ P(X), est dite tribu (ou σ-algèbre ou encore σ-algèbre de Boole) sur X si elle possède les propriétés suivantes: 1. C est non vide. 2. C est stable par passage au complémentaire 3. C est stable par réunion au plus dénombrable. Exemples 1.2.2. L’ensemble des tribus sur X est évidemment non vide. Les exemples des algèbres sur X cités précédemment sont aussi des σ-algèbres sur X: • La plus grosse est la tribu P(X). • La plus petite est {∅, X}. • Soit A ⊂ X, la plus petite tribu contenant A est {∅, A, A { , X}.. Remarque 1.2.3. Toute tribu (σ-algèbre) sur X est un clan (algèbre) sur X. En revanche il existe des algèbres qui ne sont pas des tribus. Un des contre-exemples est donné par C = {A ∈ P(X); A ou A{ = X \ A} où X est un ensemble non vide et infini. Définition 1.2.4. Le couple (X; C ) formé d’un ensemble non vide X et d’une tribu C sur X est dit espace mesurable. Les éléments de C sont appelés les parties C -mesurables de X ou simplement mesurables s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le choix de la tribu C . Remarque 1.2.5. Soit (X;M) un espace mesurable. Alors, on a les propriétés suivantes: 1. M contient nécessairement les parties ∅ et X. 2. M est stable par intersection dénombrable. 3. M est stable par différence non symétrique et par différence symétrique. Comme dans le cas des clans, il y a d’autres systèmes équivalents à l’ensemble des axiomes définissant une tribu. Par exemple: A. Ghanmi Espaces mesurables 2
Théorie des Mesures et Intégration - FSR 14-15 Définition 1.2.6. C ⊂ P(X) est une tribu sur X si et seulement si 1. X ∈ C non vide. 2. C est stable par différence non symétrique. 3. C est stable par réunion au plus dénombrable. 1.3 Construction des tribus 1.3.1 Constuction 1: Tribu trace (induite) Soit M une tribu de parties de X. Pour toute partie fixée C non vide de X, on définit MC := {A ∩ C; A ∈ M}. Alors MC est une tribu sur C, appelée tribu induite par M (ou encore tribu trace de M) sur C. Attention: Ici, il faut prendre le complémentaire dans C. 1.3.2 Constuction 2: Tribu image réciproque Soient X et Y deux ensembles non vides et f : X −→ Y une application donnée. Si MY est une tribu sur Y, alors f −1 (MY) = f −1 (B); B ∈ MY est une tribu sur X. Pour la vérification, on utilise les propriétés suivants { f −1 (A) = f −1 ( {A); f −1 (∪i∈IAi) = ∪i∈I f −1 (Ai) ainsi que f −1 (Y) = X. 1.3.3 Constuction 3: Intersection de tribus La plus part des tribus "intéressantes" sur X sont construites en utilisant le résultat que toute intersection (dénombrable ou non) de tribus de parties de X est encore une tribu de parties de X. Proposition 1.3.1. Soit F une famille de parties de X. La tribu \ M tribu de X M ⊃ F M =: σ(F) est la plus petite tribu sur X contenant F. Définition 1.3.2. σ(F est dite la tribu sur X engendrée par F. Proposition 1.3.3. 1) Soient C et C 0 deux collections de parties de X. Alors, i) Si C ⊂ C 0 , alors σ(C ) ⊂ σ(C 0 ) (en particulier si C 0 est une tribu, on a σ(C ) ⊂ C 0 ). ii) On a σ(C ) ⊂ σ(C 0 ) ⇐⇒ C ⊂ σ(C 0 ). iii) σ(C ) = σ(C 0 ) ⇐⇒ C ⊂ σ(C 0 )et C 0 ⊂ σ(C ). A. Ghanmi Espaces mesurables 3