Tiêu đề Chuyên đề 24. HÌNH NÓN.doc ✅

CHƯƠNG Chuyên đề 24. HÌNH NÓN A. Kiến thức cần nhớ 1. Hình nón Khi quay tam giác vuông AOB một vòng quanh cạnh góc vuông OA cố định ta được một hình nón: - Đáy là hình tròn O bán kính OB. - Mặt xung quanh do cạnh OB quét nên. Mỗi vị trí của OB gọi là một đường sinh. - A gọi là đỉnh; AO là đường cao. 2. Diện tích xung quanh của hình nón xqSRl ; 2 tpSRlR hay tpSRlR (R là bán kính đáy; l là đường sinh). 3. Thể tích hình nón 21 3VRh (h là chiều cao). 4. Hình nón cụt Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt phẳng đáy được gọi là hình nón cụt. 5. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt 12xqSRRl ; 2212121 3VhRRRR ( 1R , 2R : là các bán kính; 1 là đường sinh; h là chiều cao). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Một hình nón có đường cao bằng 24cm và thể tích bằng 3800cm . Tính diện tích toàn phần của hình nón này. Giải Gọi R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình nón. Ta có 21 3VRh . Suy ra 2233.800100cm .24 V R h   Do đó 10cmR . Vậy bán kính đáy hình nón là 10 cm. Đường sinh của hình nón này là:  2222241026cmSBSOOB . Diện tích toàn phần của hình nón là: 21.102610360cmtpSRR . Nhận xét: Mấu chốt trong bài toán này là tìm được bán kính đáy, từ đó tính được đường sinh và do đó tính được diện tích toàn phần của hình nón. Ví dụ 2. Mặt cắt chứa trục của một hình nón là một tam giác đều có diện tích là 293cm . Tính thể tích của hình nón đó. Giải * Tìm hướng giải
Để tính thể tích hình nón ta cần biết bán kính đáy và chiều cao của nó. Vì mặt cắt chứa trục là một tam giác đều nên nếu biết cạnh của tam giác đều là tính được tất cả. * Trình bày lời giải Gọi mặt cắt là tam giác đều ABC. Ta đặt ABACBCa thì bán kính đáy hình nón là 2 a R và chiều cao hình nón là 3 2 a h . Vì diện tích của tam giác đều là 293cm nên ta có: 22393366cm 4 a aa Vậy bán kính đáy là 3cmR và chiều cao hình nón là 6333cm 2h . Thể tích của hình nón là 22311.3.3393cm 33VRh . Ví dụ 3. Khai triển một hình nón theo một đường sinh rồi trải phẳng ra ta được một hình quạt tròn có bán kính 10 cm và có diện tích là 260 cm . a) Tính số đo cung của hình quạt; b) Tính số đo nửa góc ở đỉnh của hình nón. Giải a) Gọi số đo của cung hình quạt là n°. Vì diện tích hình quạt là 260 cm nên 2 2 60.360 60216 36010 ACn n  (độ). b) Vì diện tích xung quanh hình nón là 260 cm nên 60..606cm 10HCACHC . Gọi  là số đo nửa góc ở đỉnh của hình nón. Ta có 6 sin0,6sin3652 10 HC AC . Do đó 3652 . Ví dụ 4. Cho tam giác vuông tại A, 12ABcm , 16ACcm . Quay tam giác này một vòng quanh cạnh BC. Tính diện tích toàn phần của hình tạo thành. Giải Tam giác ABC vuông tại A, 12ABcm , 16ACcm 22121620BCcm Vẽ AHBC . Ta có ..AHBCABAC 12.169,6 20AHcm . Khi quay ABC một vòng quanh cạnh BC cố định thì hình tạo thành gồm hai hình nón chung đáy, bán kính là 9,6cm. Diện tích toàn phần của hình tạo thành là: 2...9,6.1216268,8tpSAHABACcm Nhận xét: Khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh cố định thì hình tạo thành phụ thuộc vào trục quay. - Nếu quay theo một cạnh góc vuông thì hình tạo thành là một hình nón. - Nếu quay theo cạnh huyền thì hình tạo thành là hai hình nón chung đáy.
Ví dụ 5. Một hình nón cụt có các bán kính đáy là 21cm và 49cm. Biết diện tích xung quanh của nó là 2 3710cm , tính thể tích của hình nón cụt. Giải Gọi mặt cắt chứa trục của hình nón cụt là hình thang cân ABCD. Trong mặt phẳng này vẽ BHCD . Ta đặt 1OBR ; 2OCR ; OOh và BCl . Ta có BHOOh ; 21492128HCRRcm . Vì diện tích xung quanh của hình nón cụt là 23710cm nên 123710RRl . Suy ra 371053 2149lcm   . Xét BHC vuông tại H, ta có: 2222532845BHBCHCcm . Thể tích của hình nón cụt là: 22223121211..45214921.4958065 33VhRRRRcm Nhận xét: Việc vẽ BHCD giúp ta gắn kết được các bán kính của hình nón cụt, đường sinh, chiều cao của nó vào một tam giác vuông. Nhờ định lí Py-ta-go ta có thể giải quyết được vấn đề. Ví dụ 6. Một hình nón có bán kính đáy bằng 6cm, chiều cao bằng trung bình cộng của bán kính đáy và đường sinh. Chứng minh rằng hình nón này có số đo diện tích toàn phần (tính bằng 2cm ) đúng bằng số đo thể tích (tính bằng 3cm ). Giải Gọi R là bán kính đáy, h là chiểu cao và l là đường sinh của hình nón. Ta có 6Rcm , 1 26 2 R hlh  . Mặt khác 22lhR . Suy ra 2226hhR 3h . Bình phương hai vế ta có: 224243636hhh       20 3240380 8 hloaïi hhhh hchoïn Vậy chiều cao của hình nón là 8cm; đường sinh bằng 2.8610.cm Diện tích toàn phần của hình nón là: 2.610696.tpSRlRcm Thể tích của hình nón là: 22311.6.896 33VRhcm . Vậy số đo diện tích toàn phần tính bằng 2cm đúng bằng số đo thể tích tính bằng 3cm . C. Bài tập vận dụng • Tính diện tích 24.1. Một hình nón có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a. Biết chiều cao của hình nón bằng 6 3 a . Tính diện tích toàn phần của hình nón. 24.2. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 9cm và chiều cao 21,6mSOc . Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy tạo ra một hình nón cụt có chiều cao 12cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt. 24.3. Một xô bằng tôn có các bán kính đáy là 17cm và 10 cm, chiều cao 24cm. Tính diện tích tôn để làm xô.
24.4. Cho hình thang ABCD, 90AD ; ABADa , 2CDa . Quay hình thang vuông này một vòng quanh cạnh CD cố định ta được một hình. Tính diện tích toàn phần của hình đó. • Tính thể tích 24.5. Một hình nón có diện tích đáy bằng 2144cm và diện tích toàn phần bằng 2588cm . Tính thể tích hình nón. 24.6. Một chiếc cốc hình nón đựng rượu đến 1 3 chiều cao của cốc. Biết thể tích của rượu trong cốc là 3 2cm . Tính thể tích của cốc. 24.7. Từ một tấm tôn hình quạt tròn bán kính 37cm và góc ở tâm là 117°, người ta cuốn và hàn lại thành mặt xung quanh của một hình nón. Hỏi hình nón (không đáy) này có thể chứa được 5kg nước không? 24.8. Cắt hình nón cụt bằng một mặt phẳng chứa trục ta được một hình thang cân có góc ở đáy bằng 45° và độ dài đáy lớn gấp đôi độ dài đáy nhỏ. Biết diện tích mặt cắt này là 227cm . Tính thể tích hình nón cụt. 24.9. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH. Biết 24AHcm , 25ABcm , 26ACcm . Quay hình tam giác này một vòng quanh cạnh BC cố định. Tính thể tích của hình tạo thành. 24.10. Tam giác ABC có góc C tù, 15ABcm , 13ACcm , đường cao 12AHcm . Quay tam giác này một vòng quanh cạnh BC cố định. Tính thể tích của hình tạo thành. • Tính độ dài, tính tỉ số 24.11. Một đống cát hình nón có chu vi đáy là 12,56m. Người ta dùng xe cải tiến để chở đống cát đó đi 10 chuyến thì hết. Biết mỗi chuyến chở được 3250dm . Tính chiều cao của đống cát (làm tròn đến dm). 24.12. Một hình nón có bán kính đáy 30cm. Một mặt phẳng P song song với đáy cắt hình nón thành hai phần: một hình nón nhỏ và một hình nón cụt có tỉ số thể tích là 1 26 . Tính bán kính đáy của hình nón nhỏ. 24.13. Một chao đèn có dạng mặt xung quanh của một hình nón cụt. Các bán kính đáy lần lượt là 15Rcm ; 213Rcm . Biết diện tích xung quanh của chao đèn là 2306 cm . Tính chiều cao của chao đèn. 24.14. Một hình nón có mặt cắt chứa trục là một tam giác đều. Chứng minh rằng diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy. 24.15. Cho tam giác AOB vuông tại O, OAa , OBb . Quay tam giác vuông này một vòng lần lượt quanh cạnh OA, OB cố định ta được một hình nón đỉnh A và một hình nón đỉnh B. Chứng minh rằng tỉ số thể tích của hai hình nón bằng tỉ số diện tích xung quanh của hai hình nón ấy. 24.16. Cho một hình nón đỉnh A, đáy là hình tròn ;5Ocm và đường sinh 12ABcm . Gọi AC là một đường sinh sao cho 120BOC . Khai triển mặt xung quanh của hình nón theo đường sinh AB ta được một hình quạt. a) Tính số đo cung của hình quạt này; b) Tính quãng đường ngắn nhất mà một con kiến bò trên mặt xung quanh của hình nón từ B đến c. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 24.1. Bán kính đáy hình nón chính là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Ta có 3 1802sin603 2sin aaa R n   Xét SOA vuông tại O ta có 2 2 2223 6 33 aa SASOOA    22 SAaSAa . Diện tích toàn phần của hình nón là: 23331 333tp aaa SRlRa     24.2.