Tiêu đề Toán 12_Tập 2 C4_Bài 3. Ứng dụng tích phân CTST_bản GV.pdf ✅

1 Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân A. Kiến thức cần nhớ 1. Tính diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x a x b   , là : ( ) b a S f x dx   b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x  ( ), y g x  ( ), x a x b   , là: ( ) ( ) b a S f x g x dx    2. Thể tích của hình khối a) Thể tích của vật thể Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông gó với trục Ox tại x = a và x = b (a < b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x a x b    cắt vật thể theo hình phẳng có diện tích S(x). Giả sử hàm số S(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó, thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi công thức: ( ) b a V S x dx   Chú ý: Nếu S(x) = S không đổi với  x a b  ;  thì V b a S     b) Thể tích của khối tròn xoay Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay qua trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng:   2 ( ) b a V f x dx   B. Các dạng bài tập & phương pháp giải Dạng 1. Tính diện tích hình phẳng được cho bởi đồ thị Ví dụ 1. Tính diện t ch ph n h nh phẳng gạch ch o trong h nh v dưới đây? Lời giải: 2 2 4 2 4 2 1 1 3 3 1 5 1 3 d 1 d 2 2 2 2 2 2 S x x x x x x x x                                 . Ví dụ 2. Tính diện t ch ph n h nh phẳng gạch ch o trong h nh v dưới đây? y = f(x) x y O a x b
2 Lời giải:   3 3 2 2 1 1 S x x dx x x dx 2 ( 3) 2 3            . Ví dụ 3. Tính diện t ch ph n h nh phẳng gạch ch o trong h nh v dưới đây? Lời giải:     2 2 2 3 2 3 2 0 0 S x x x x x x x          2 ( 3 2) d 2 d   Ví dụ 4. Tính diện t ch ph n h nh phẳng gạch ch o trong h nh v dưới đây? Lời giải Diện tích hình phẳng c n tìm là:         0 1 3 3 2 0 S x x x dx x x x dx 3 2 2 2 2 2 3 2                          0 1 4 2 4 2 3 3 2 0 5 5 9 33 0 1 5 5 6 4 2 4 2 4 4 2 0 x x x x x x dx x x dx                              . Ví dụ 5. Ph n hình phẳng H được gạch chéo trong hình v dưới đây được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x   , 2 y x x   4 và hai đường thẳng x x    2 ; 0.
3 Biết   0 2 4 d 3 f x x    . Tính diện tích hình H . Lời giải     0 2 2 4 d H S f x x x x              0 0 2 2 2 f x x x x x d 4 d        3 2 4 0 2 3 3 2 x x               3 4 20 2 2 2 2 3 3 3       . Vậy diện tích hình H là 20 3 S  . Ví dụ 6. Cho y f x  ( ) là hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như h nh v . Tính diện tích hình phẳng được tô đậm. Lời giải Giả sử 3 2 f x ax bx cx d a ( ) ( 0).      V đồ thị đi qua 4 điểm O A B C (0; 0), (1; 0), (3; 0), (2; 2) nên ta có hệ phương tr nh: 0 1 0 4 27 9 3 0 3 8 4 2 2 0 d a a b c d b a b c d c a b c d d                                   Vậy hàm số đã cho là 3 2 y f x x x x      ( ) 4 3 , diện tích ph n được tô đậm là: 1 3 0 1 37 ( )d ( )d 12 S f x x f x x       . Dạng 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số f(x) và g(x) Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x x    4 , trục hoành và các đường thẳng x x    3, 4 .
4 Lời giải: Ta có 4 3 3 201 4 d 4 S x x x       (đvdt) Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y x x    2 và trục hoành. Lời giải Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình: 2 x x   2 0 1 2 x x        . Diện tích hình phẳng 1 2 2 S x x x 2 d        1 2 2 9 2 d 2 x x x        . Ví dụ 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2 y x x  3 , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  4 . Lời giải Phương tr nh hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 3 2 y x x  3 và trục hoành là: 3 2 0 3 0 3 x x x x         . Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2 y x x  3 , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  4 bằng:     4 3 4 3 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 3 1 3 S x x x x x x x x x x x x x x x           3 d 3 d 3 d 3 d 3 d      3 4 4 4 3 3 1 3 27 51 6 4 4 4 4 x x x x                    . Ví dụ 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số e x y  , trục hoành, x  0 , x  2 . Lời giải: 2 2 2 0 0 e d e d 1 x x S x x e       . Ví dụ 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 y x  , trục hoành và các đường thẳng x x e   1, . Lời giải: 1 1 1 1 1 ln ln ln1 1 e e e S dx dx x e x x         . Vậy S  1. Ví dụ 12. Tính diện t ch h nh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x   sin 1, trục hoành và hai đường thẳng x  0 và 7 6 x   . Lời giải