Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594 Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C V À O L Ớ P 1 0 C H U Y Ê N Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN 2023-2024 (15 BẤT ĐẲNG THỨC VÀO LỚP 10 CHUYÊN 2009-2024) WORD VERSION | 2023 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
[email protected] vectorstock.com/28062405
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN 2023-2024 Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2023-2024) Với các số thực dương abc , , thay đổi thoả mãn abc =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 222 33 33 3 3 18 18 18 18 18 18 abc P ab bc ca = ++ ++ ++ ++ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được: ( ) 2 32 2 12 12 4 1 8 (1 2 ) 1 2 4 2 1. 2 a aa a a aa a + +− + + = + −+ ≤ = + Tương tự, ta có: 32 32 1 8 2 1; 1 8 2 1. +≤+ +≤+ bb cc Do đó: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 222 22 22 2 2 2 12 1 2 12 1 2 12 1 abc P ab bc ca ≥ ++ ++ ++ ++ Tiếp theo ta chứng minh: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 222 22 22 2 2 1 (*) 2 12 1 2 12 1 2 12 1 3 abc ab bc ca ++≥ ++ ++ ++ Thật vậy: ( ( ) ) ( )( )( ) 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 (*) 3 2 ⇔ + + +++ ≥ + + + ab bc ca a b c a b c 2 12 12 1 ( ) ( ) 22 22 2 2 2 2 2 ⇔ + + + ++ ≥ 2 ab bc ca a b c 9. Điều này hiển nhiên đúng do 22 22 2 2 444 4 ab bc ca abc ++≥ = 3 3 và 2 2 2 3 222 a b c abc ++≥ = 3 3. Vậy GTNN của 1 3 P = đạt tại abc = = =1 Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang năm 2023-2024) Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức P= 2 22 111 . 1x 1y 1z + + +++ Lời giải Từ giả thiết x + y + z = xyz, ta có 111 1. xy yz xz = = = Dặt a= 111 ;b ;c a, b,c 0; x yz = =⇒ > Giả thiết trở thành ab + bc + ca = 1; P = 2 22 abc 1a 1b 1c + + +++ Đẻ ý rằng:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: ( )( ) 2 2 a 1 a ab bc ca a b a c += + + + = + + ( )( ) 2 2 b 1 b ab bc ca b a b c += + + + = + + ( )( ) 2 2 c 1 c ab bc ca c a c b += + + + = + + Lúc này ta có: P= ( )( ) ( )( ) ( )( ) abc aba bab cacb c c + + ++ ++ ++ = aa bb cc . . . ab ac ba bc ca cb + + ++ ++ ++ Theo bất đẳng thức Cô-si (AM-GM), ta có: P 1a a b b c c 2a b a c b a b c ca c b ≤ +++++ + ++ +++ hay P 3 2 ≤ . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 hay x y z 3 3 = = = Vậy giá trị lớn nhất của P = 3 x y z 3. 2 ⇔ === Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh năm 2023-2024) Cho các số thực dương abc , , thỏa mãn abc ++= 3. Chứng minh rằng 15 6 abc ab bc ca ≥ − + + Lời giải Ta sẽ chứng minh (3 2 3 2 3 2 (1). − − −≤ a b c abc )( )( ) Nếu (32 32 32 0 − − −≤ abc )( )( ) thì (1) đúng Ta có ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 32 32 32 32 2 32 32 32 32 32 32 32 . 2 32 32 32 32 2 a b a b c a c a c b a b c abc c b c b a − +− − −≤ = − +− − −≤ = ⇒− − − ≤ − +− − −≤ = Dấu “=” ở (1) xảy ra khi a = b = c = 1. Từ (1) ta có 27 9 2 2 2 3 4 4 4 8 − ++ + + + − ≤ ( a b c ab bc ca abc abc ) ( ) ⇔ − + + + − ≤ ++= 27 9.6 12(ab bc ac abc abc do a b c ) 8 ( 3)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: ( ) 4 3 3 ⇔ ≥ ++ − abc ab bc ca Lúc này ( ) ( ) ( ) 2 15 4 12 3 3 3 4 12 9 2 3 813 6 3 15 6 ( ). abc ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca abc Suy ra abc đpcm ab bc ca + ≥ ++ + + − + + ++ ++ ≥ + + + − = +− = + + + + ≥ − + + Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre năm 2023-2024) Cho số thực x thỏa mãn 0 1 2 <
. Khi đó 1 2 2 1 2 1 2 3 24 2 2 3 2 3 233 1 a a aa a A a a a a − + −+ − = + = + =+ + + − − − . Áp dụng bất đẳng thức AM GM − cho hai số dương 3 a − 2 và 2 3 a − , ta được 3 2 4 16 2 2 2 3 33 a A a − ≥+ ⇒ + = − . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 5 5 a x =⇔= . Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước năm 2023-2024) Cho abc , , là các số dương. Chứng minh: 222 4 bc ca ab a b c abc bca cab + + ++≤ ++ ++ ++ . Lời giải Chứng minh được bất đẳng thức 11 4 . a b ab + ≥ + Ta có ( ) ( ) 1 1 4 11 1 24 4 abc ab ac ab ac =⋅ ≤ + ++ + + + + + 1 2 4 bc bc bc abc ab ac ⇒ ≤+ ++ + + (1) Tương tự, ta có 
English