Tiêu đề Chương 5_Bài 16_ _Đề bài_Toán 9_KNTT.pdf ✅

BÀI 16. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Số điểm chung của đường thẳng và đường tròn 1) Đường thẳng a và đường tròn O gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung (H.5.26a ). 2) Đường thẳng a và đường tròn O gọi là tiếp xúc với nhau nếu chúng có duy nhất một điểm chung H . Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng a còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn O tại H (H.5.26 b). 3) Đường thẳng a và đường tròn O gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung (H.5.26c). Nhận xét 1) Cho đường thẳng a và đường tròn O;R . Gọi d là khoảng cách từ O đến a . Từ HĐ1, ta nhận thấy: Đường thẳng a và đường tròn O;R cắt nhau khi d  RH.5.26a, tiếp xúc với nhau khi d  R (H.5.26b) và không giao nhau khi d  R (H.5.26c). 2) Nếu đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại H thì OH  a . 2. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc với nhau Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Ví dụ 1. Cho AB là một dây không đi qua tâm của đường tròn O. Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của O ở điểm C . Chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của O. 3. HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Định lí 2 Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn O cắt nhau tại điểm P thì: Điểm P cách đểu hai tiếp điểm; PO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến; OP là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm.
Ví dụ 2. Cho hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn O;R (A và B là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng OP  AB ; b) Tính PA và PB , biết R  2 cm và PO  4 cm . B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 5.20. Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4 cm,6 cm,7 cm và 8 cm để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường thẳng a và b . Biết rằng a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6 cm (nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng b đểu cách a một khoảng 6 cm ). Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng b thì hình nào đè lên đường thẳng a , hình nào không đè lên đường thẳng a ? 5.21. Cho đường tròn O đi qua ba đỉnh A, B và C của một tam giác cân tại A . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của O. 5.22. Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox , điểm B trên cạnh Oy sao cho OA  OB . Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P . Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn P;PA. 5.23. Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn O(A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AB . Tiếp tuyến của O tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F . a) Chứng minh rằng chu Vì của tam giác SEF bằng SA SB . b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn O. Chứng minh rằng SE  SF . C. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Ví dụ 1. Cho đường thẳng a và một điểm O cách a một khoảng 7cm . Hãy xác định vị trí tương đối của a với các đường tròn sau: a) Đường tròn (O;5cm ); b) Đường tròn (O;7cm ); c) Đường tròn (O;9cm). Ví dụ 2. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a đến đường tròn (O;7cm ) nếu khoảng cách từ O đến a bằng: a) 4cm ; b) 9cm; c) 7cm .
Ví dụ 3. Cho đường thẳng a và một điểm O cách a một khoảng 4cm . Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5cm . a) Giải thích vì sao a và (O) cắt nhau. b) Gọi B và C là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O;5cm). Tính độ dài dây BC. Ví dụ 4. Trong hình vẽ, mép ngoài cửa ra vào có dạng một phần của đường tròn bán kính 1,6m. Hãy tính chiều cao HK của của đó, biết AH  0,9m . Dạng 2. Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn Ví dụ 1. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến AB(B là tiếp điểm). Lấy một điểm C trên đường tròn sao cho AC  AB . Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB  3;AC  4 và BC  5 . Chứng minh rằng đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn (B;3). Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và điểm I ở ngoài đường tròn. Gọi M là giao điểm của đường tròn tâm K đường kính IO và đường tròn (O) . Chứng minh đường thẳng IM là tiếp tuyến của (O) tại M . Ví dụ 4. Cho A là một điểm thuộc đường tròn (O),M là một điểm thuộc tiếp tuyến của (O) tại A ( M khác A) .Đường tròn tâm M bán kính MA cắt O) tại B(B khác A) . Chứng minh rằng MB là một tiếp tuyến của (O) . Ví dụ 5. Cho đường tròn (O) dây BC khác đường kính, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở A . Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Ví dụ 6. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến tại B với đường tròn (O) , trên tiếp tuyến lấy P . Qua A kẻ đường thẳng song song với OP cắt (O) tại Q. Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Ví dụ 7. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI. Ví dụ 8. Cho đường tròn (O) đi qua ba điểm A,B và C của một tam giác cân tại A . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của (O) . Ví dụ 9. Trong hình vẽ, AB  9 , BC 12,AC 15 và BC là đường kính của đường tròn (O) . Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Ví dụ 10. Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox , điểm B trên cạnh Oy sao cho OA  OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P . Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (P;PA) . Ví dụ 11. Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F. a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF bằng SA SB . b) Giả sử M là giao diểm của đoạn SO với đường tròn (O) . Chứng minh rằng SE  SF.
Ví dụ 12. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) . Vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm B và C . a) Chứng minh AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O;R) . b) Chứng minh AB  AC . c) Xác định tia phân giác của BAC và BOC. Ví dụ 13. Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm nằm trên đường tròn (O) , các tiếp tuyến của đường tròn tại A và C cắt nhau ở D . Gọi H là hình chiếu của của C trên AB và I là giao điểm của BD và CH . Chứng minh rằng CI  HI. Ví dụ 14. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA , PB(A,B là các tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC . Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH Ví dụ 15. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) , kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung BC thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi. Ví dụ 16. Cho đường tròn ( I,r ) nội tiếp ABC, các tiếp điểm trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F. Chứng minh rằng: 2AD  AB AC BC(*) Ví dụ 17. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By . Một điểm M di động trên nửa đường tròn này, qua M vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By lần lượt tại C và D . Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho 3AC BD nhỏ nhất. Ví dụ 18. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, kẻ MH vuông góc với AB(H thuộc AB). Vẽ đường tròn tâm M bán kính MH. Kẻ các tiếp tuyến AC,BD với đường tròn tâm M(C,D là các tiếp điểm ) a) Chứng minh ba điểm C,M,D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của (O). b) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì AC + BD không đổi. Dạng 3. Tính toán Ví dụ 1. Trong hình vẽ, AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B . a) Tính bán kính r của đường tròn (O ). b) Tính chiều dài cạnh OA của tam giác ABO . Ví dụ 2. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn ( I;6cm ) và ME,MF là hia tiếp tuyến của đường tròn này tại E và F. Cho biết EMF 60   .