Tiêu đề CHUYÊN ĐỀ 2. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 2. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Trong chuyên đề này, chúng tôi giới thiệu tới bạn đọc một số hệ phương trình thường gặp và phương pháp giải các loại hệ phương trình đó. 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ có dạng trong đó là các biểu thức     ; ; f x y a g x y b       f  x; y, g  x; y đối xứng, tức là . f  x; y  f  y; x; g  x; y  g  y; x Để giải hệ phương trình đối xứng loại 1, ta đặt . S  x  y;P  xy Biểu diễn qua S và P ta có f  x; y;g x; y hệ . Giải hệ này ta tìm được S, P.     ; 0 ; 0 F S P G S P       Khi đó x, y là nghiệm của phương trình . 2 X  SX  P  0 Chú ý: Một số biểu diễn thường gặp:            2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 ; ; 2 2 . ; x y x y xy S P x y x y x y xy S SP x y y x xy x y SP x y x y x y S P P                         Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình: 2 2 3 3 3 1) ; 5 5 2) . 9 x y x y x y xy x y                Hướng dẫn giải 1) Đặt S  x  y;P  xy , hệ đã cho trở thành 2 3 3 . 2 5 2 S S S P P             Suy ra x, y là hai nghiệm phương trình: . 2 t  3t  2  0  t 1;t  2 Vậy nghiệm của hệ đã cho là .  x; y1;2,2;1 2) Đặt S  x  y;P  xy hệ đã cho trở thành      3 3 3 2 2 5 5 5 5 5 3 9 3 5 9 3 15 9 0 3 6 3 0 3; 3 6 S P P S P S P S P S S SP S S S S S S S S S S S                                                + Nếu thì x, y là hai nghiệm của phương trình . 3 2 S P      2 t  3t  2  0  t 1;t  2
+) Nếu thì hệ đã cho vô nghiệm do . 3 6 8 6 S P         2 S  4P +) Nếu thì hệ đã cho vô nghiệm do . 3 6 8 6 S P         2 S  4P Vậy nghiệm của hệ đã cho là .  x; y1;2,2;1 Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình:        3 3 3 2 3 2 3 3 19 1) ; 8 2 2 3 2) . 6 x y x y xy x y x y xy x y                    Hướng dẫn giải 1) Đặt S  x  y;P  xy . Khi đó hệ trở thành:       2 3 3 3 19 2 8 2 8 1 8 2 3 2 8 19 24 25 0 6 S S P SP S SP S S S P S S S S P                                    Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình . 2 1 2 t  t  6  0  t  3;t  2 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm x; y2;3,3;2 . 2) Đặt . Khi đó hệ trở thành: 3 3 a  x;b  y .     3 3 2 2 2 3 6 a b a b b a a b         Đặt , ta S  a  b;P  ab được:     3 2 3 3 2 36 3 3 6 6 6 8 S SP SP P P S S S P                     Suy ra a, b là nghiệm của phương trình: . 2 1 2 X  6X  8  0  X  2;X  4 Suy ra hoặc . 2 8 4 64 a x b y          4 64 2 8 a x b y          Vậy nghiệm của hệ đã cho là .  x; y8;64,64;8 Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình
4 3 2 3 3 3 1 3 1) ; 82 7 1 2) . 78 y x x y x y y x xy x y y x                   Hướng dẫn giải 1) Đặt và . Khi u  x đó hệ đã cho trở thành 4 3 v  y 1     4 4 4 4 3 3 * 1 82 81 u v u v u v u v                  Đặt . S  u  v, P  uv Với điều kiện thì hệ (*) viết lại: 2 S  4P  0 hoặc 4 2 2 2 3 3 0 4 2 81 18 0 3 S S P S S P P P P S                     18 . 3 P S      +) , suy ra u, v là nghiệm của phương trình hoặc . 3 0 S P      2 t  3t  0  t  0 t  3 Khi đó: hoặc . 3 0 0 3 82 u x v y            3 9 0 1 u x v y            +) không thỏa mãn vì . 3 18 S P      2 S  4P  0 • Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: .       3 x; y  0; 82 , 9;1 2) Điều kiện: . xy  0 +) Nếu : Ta x  0, y  0 đặt . u  x; v  y +) Nếu : Ta x  0; y  0 đặt . u  x;v  y Cả hai trường hợp đều đưa hệ về hệ phương trình:   2 2 2 2 3 3 7 1 7 78 78 u v u v uv v u uv uv u v u v v u                     Đặt , ta có S  u  v, P  uv hệ: (loại).     2 2 2 2 2 3 7 3 7 3 7 6 13 ; 2 78 7 78 7 78 0 5 32 S P S P S P P P P S P P P P P S S                                         Từ đấy ta tìm được nghiệm của hệ là:  x; y9;4,4;9,4;9,9;4 Ví dụ 4. Giải hệ phương trình    2 2 1 3 2 4 x xy x x x y         
(Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán, Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Điện Biên, năm học 2014 - 2015). Hướng dẫn giải Hệ đã cho tương đương với       2 2 3 4 x x y x x x y x            Đặt ta có hệ phương trình 2 a  x  x;b  y  x 3 1 3 ; 4 3 1 ab a a a b b b                  2 2 2 2 1 5 1 1 1 0 2 ) 3 3 3 7 5 2 1 13 3 3 3 0 2 ) 1 1 1 3 13 2 x a x x x x b y x y x y x a x x x x b y x y x y                                                                     Vậy nghiệm của hệ là   1 5 7 5 1 5 7 5 1 13 3 13 1 13 3 13 ; ; , ; , ; , ; 2 2 2 2 2 2 2 2 x y                                           Ví dụ 5. Giải hệ phương trình     2 2 2 6 1 2 8 xy x y x y             (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 2014-2015). Hướng dẫn giải Hệ đã cho tương đương với              2 2 2 2 2 2 4 1 2 4 1 2 8 1 2 8 x y y x y x y x y                           Đặt ta có a  x 1,b  y  2 hệ phương trình     2 2 2 2 4 4 4 4 8 2 8 16 4 4 2 1 2 1 ) 4 2 2 2 4 4 2 1 2 3 ) 4 2 2 2 0 ab ab ab ab a b a b ab a b a b ab a x x a b b y y ab a x x a b b y y                                                                                          Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y1;4,3;0