Tiêu đề Đề Thi Olympic Toán Trại Hè Hùng Vương 2013 (Khối 10) [Đáp Án].pdf ✅

WWW.MOLYMPIAD.ML SӢ GD&ĐT HÒA BÌNH TRѬӠNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THӨ Đӄ THI HӐC SINH GIỎI TRҤI HÈ HÙNG VѬƠNG LҪN THỨ IX MÔN: TOÁN - LӞP: 10 Ngày thi: 02 tháng 08 năm 2013 Thӡi gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang. Họ và tên thí sinh................................................................SBD...................... Bài 1. (5 Điểm) Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 3 28 6 6 10 y x y x xy y x y           Bài 2. (5 Điểm) Cho tia Ax và điểm B cố định sao cho góc BAx nhọn, điểm C chạy trên tia Ax. Đưӡng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC và AC theo thứ tự ӣ M và N. Chứng minh rằng, đưӡng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 3. (4 Điểm) Cho x, y, z  (0; 1). Chứng minh rằng:         2 2 2 x x y y z z x yz y xz z yx        Bài 4. (4 Điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m,n) sao cho m 2 + n 2 = p là số nguyên tố và 3 3 m n   4 chia hết cho p. Bài 5. (2 Điểm) Trên mạng lưới ô vuông vô hạn ngưӡi ta điền vào mỗi ô vuông cơ sӣ một số thực sao cho mỗi số này bằng trung bình cộng của bốn số ӣ bốn hình vuông cơ sӣ có cạnh kề với nó. a. Chứng minh rằng: Nếu các số được điền vào các ô vuông cơ sӣ là những số nguyên dương thì các số đó phải bằng nhau. b. Nếu các số được điền là các số hữu tỉ thì các số được điền vào các ô vuông cơ sӣ có cạnh kề với nó, có nhất thiết phải bằng nhau không? Giải thích? ....................................................HӃt.................................................... - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm! - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay! Giám thị 01:......................................................................................................... Giám thị 02:......................................................................................................... Đӄ CHÍNH THỨC
WWW.MOLYMPIAD.ML HѬӞNG DҮN CHҨM THI HӐC SINH GIỎI TRҤI HÈ HÙNG VѬƠNG LҪN THỨ IX MÔN: TOÁN - LӞP: 10 Bài Hѭӟng dүn Điểm 1 Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 3 28 6 6 10 y x y x xy y x y           5.0 Đặt y = a + b, x = a – b 1.0 Biến đối hệ ban đầu về hệ:   3 3 2 2 7 2 2 a b a a b b           0.75       3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 7 7 3 3 1 6 12 8 1 2 a b a b a a a b b b a b                               1.75 2 2 0 1, 2 1 2, 1 b b a b a b a b                     Trả biến tìm được 3, 1 3, 1 x y x y           1.5 1. 2 Cho góc nhọn BAx, hai điểm A và B cố định. Điểm C chạy trên tia Ax. Đưӡng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC và AC theo thứ tự ӣ M và N. Chứng minh rằng, đưӡng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 5.0 I N M P O A B C I N M P O A C Gọi O là tâm đưӡng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, P là tiếp điểm đưӡng tròn (O) với AB, giao điểm của MN với AO là I. Do AO là tia phân giác góc BAx nên hai điểm P và N đối xứng nhau qua AO. 1.0 Suy ra        PI PO NI NO MI MO ; ; ; mod    (do tam giác MIN cân). Từ đó suy ra bốn điểm P, I, O, M cùng thuộc một đưӡng tròn (1). 1.0 Mặt khác do (O) tiếp xúc với cạnh AB, BC ӣ P và M nên OPB OMB    90 suy ra tứ giác 1.0 B
WWW.MOLYMPIAD.ML OMBP nội tiếp đưӡng tròn đưӡng kính BO (2). Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm B, M, I, O và P cùng thuộc đưӡng tròn đưӡng kính BO. Do đó BIO BPO    90 , dẫn đến I là hình chiếu của B trên AO. 1.0 Do góc BAx cố định và B cố định nên đưӡng thẳng AO cố định và suy ra điểm I cố định. Vậy đưӡng thẳng MN đi qua điểm I cố định. 1.0 Chú y: nӃu thi sinh nào không dùng góc đӏnh hѭӟng mӟi chỉ xét mӝt trong hai trѭӡng hӧp: điểm I nằm trong đoҥn MN hoặc I nằm ngoài đoҥn MN thiӃu mҩt trѭӡng hӧp còn lҥi thì bӏ trừ 2 điểm. 3 Cho x, y, z là các số thực thuộc khoảng (0; 1). Chứng minh rằng:         2 2 2 x x y y z z x yz y xz z yx        4.0 Không mất tổng quát giả sử x y z   0 0 x yz y zx         do x, y, z  (0; 1). Nếu z xy   0 khi đó VT  0  VP, BĐT luôn đúng. 1.0 Nếu z xy   0, ta chứng minh bất đẳng thức sau: với mọi a, b, c thuộc (0; 1) ta có: bc a b ac c ab      1    Thật vậy: bc a b ac c ab      1         2      bc a b ac c ab 1    2 2 2 2 2           bc a a bc ab ac a bc a b c 1 2 0 1.0 Áp dụng bất đẳng thức trên cho x, y, z thuộc (0;1) ta được yz x y xz z xy      1    zx y z xy x yz       1    xy z x yz y xz       1    1.0 Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta thu được: xyz x y z x yz y zx z xy         1 1 1        (đpcm) 1.0 4 Tìm bộ số nguyên dương (m,n) sao cho p = m 2 + n 2 là số nguyên tố và 3 3 m n   4 chia hết cho p. 4.0 Ta có:       3 3 m n p mn m n p         4 0 mod 4 0 mod     3 12 0 mod mn m n p     1.0 Kết hợp   3 3 m n p    4 0 mod suy ra     3 m n p   8 0 mod      2 2          m n m n mn m n p 2 2 2 2 4 0 mod Do p là số nguyên tố nên có hai khả năng xảy ra: 1.0 Trưӡng hợp 1: Nếu 2 2 m n m n    2     2 2 2 2 1 1 2 2 m m n m n m m n n n                 Thử lại thấy (m,n) = (1;2), (2;1), (1;1) thỏa mãn 1.0 Trưӡng hợp 2: 2 2 2 2 m n mn m n m n       2 2 2 4 , viết lại:             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 m n mn m n m n m n m n m n                                   Dấu bằng chỉ xảy ra khi m = n = 1. Vậy trong mọi trưӡng hợp ta tìm được các bộ số thỏa mãn là (1;1), (1;2), (2;1). 1.0 Trên mạng lưới ô vuông ngưӡi ta điền vào mỗi ô vuông cơ sӣ một số thực sao cho mỗi số này bằng trung bình cộng của bốn số ӣ bốn hình vuông cơ sӣ có cạnh kề với nó. a. Nếu các số điền vào các ô vuông cơ sӣ là những số nguyên dương, chứng minh rằng các số
WWW.MOLYMPIAD.ML 5 được điền phải bằng nhau. b. Nếu các số được điền là các số hữu tỉ thì các số được điền vào các ô vuông cơ sӣ có cạnh kề với nó, có nhất thiết phải bằng nhau không? Vì sao? a. Vì các số thực được điền vào các ô vuông là những số nguyên dương nên tồn tại số a nhỏ nhất trong các số được điền. Giả sử tồn tại một ô vuông cơ sӣ có chứa số a mà bốn ô vuông cơ sӣ có cạnh liền kề có ít nhất một ô vuông có chứa số b a  . Gọi c, d, e là ba số ӣ ba ô vuông cơ sӣ có cạnh liền kề còn lại. Khi đó:   1 , , 4 b a b c d e a c d e a           , trái với giả thiết. Như vậy nếu có một ô vuông có chứa số a thì bốn ô vuông có cạnh liền kề với nó cũng chứa số a. Do đó tất cả các ô vuông đều chứa số a. 1.0 b. Nếu các số được điền là các số hữu tỉ thì bốn số ӣ bốn ô vuông có cạnh liền kề với ô vuông cơ sӣ không nhất thiết phải bằng nhau. Ta xây dựng một hệ trục tọa độ vuông góc có các trục tọa độ song song hoặc trùng với các cạnh của lưới ô vuông và có đơn vị trên mỗi trục bằng độ dài cạnh của ô vuông cơ sӣ. Ӣ mỗi hình vuông cơ sӣ ta điền một số bằng trung bình cộng hai tọa độ tâm của hình vuông đó. Khi đó do tọa độ của tâm các hình vuông cӣ sӣ đều là số hữu tỉ nên số đặt vào đó cũng là số hữu tỉ. Và số đặt vào bốn ô vuông cơ sӣ có cạnh kề với nó không bằng nhau. Ta chứng minh số điền vào các ô vuông cơ sӣ bằng trung bình cộng của bốn số ӣ bốn ô vuông có cạnh liền kề với nó như sau: Không mất tổng quát giả sử có hình vẽ bên. Khi đó tâm của bốn hình vuông cơ sӣ A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình vuông nhận tâm I của hình vuông cơ sӣ ӣ giữa làm tâm, nên dẫn đến tọa độ điểm I là trung bình cộng tọa độ các điểm A, B, C, D do đó số được đặt trong hình vuông tâm I là số hữu tỉ và là trung bình cộng của bốn số hữu tỉ được đặt trong các hình vuông tâm A, B, C, D. 1.0 6 4 2 5 C B I A D