Tiêu đề Bài 5.3_Phép nhân vec tơ với 1 số_CTST_Lời giải.pdf ✅

BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất - Cho số k khác 0 và vectơ a khác 0  . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là  ka . Vectơ  ka cùng hướng với a nếu k  0 , ngược hướng với a nếu k  0 và có độ dài bằng | | | |  k a . Quy ước: 0  0  a và 0  0   k . Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số thực h và k , ta có: (  )       k a b ka kb (  )      h k a ha ka , ( )  ( )   h ka hk a , 1.    a a , (-1),     a a . 2. Điều kiện để hai vectơ cùng phưong Hai vectơ a và (   b b khác 0)  củng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho   a kb . 3. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 đê    AB k AC . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số. 1. Phương pháp giải. Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . điểm M là trung điểm BC . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng. a) 1 2 CB  MA   b) 1 2 BA BC   c) 1 2 2 AB  AC   d) 3 2,5 4 MA MB   Lời giải (Hình 1.14) a) Do 1 2 CB  CM   suy ra theo quy tắc ba điểm ta có 1 2 CB  MA  CM  MA  CA      N M A C B Q P H L K Hình 1.14

Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có 2 2 2 2 25 27 127 16 64 8 a a a KH  MH  MK    Vậy 3 127 2,5 4 8 a MA MB  KH    Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a . a) Chứng minh rằng u = 4MA- 3MB + MC -2MD      không phụ thuộc vào vị trí điểm M. b) Tính độ dài vectơ u  Lời giải (Hình 1.15) a) Gọi O là tâm hình vuông. Theo quy tắc ba điểm ta có u (MO OA) (MO OB ) (MO OC ) (MO OD ) OA OB OC OD = + - + + + - + = - + - 4 3 2 4 3 2              Mà OD = -OB, OC = -OA     nên u = 3OA-OB    Suy ra u  không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Lấy điểm A' trên tia OAsao cho OA'  3OA khi đó OA' = 3OA   do đó u =OA'-OB = BA'     Mặt khác BA' = OB +OA' = OB + OA = a 2 2 2 2 9 5 Suy ra u = a 5  Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng:  Các tính chất phép toán vectơ  Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ  Tính chất trung điểm: M là trung điểm đoạn thẳng ABÛ MA + MB = 0    M là trung điểm đoạn thẳng ABÛ OA +OB = 2OM    (Với O là điểm tuỳ ý)  Tính chất trọng tâm: O A D C B A' Hình 1.15