Tiêu đề PHẦN I. TAM GIÁC - TỨ GIÁC.doc ✅

I. TAM GIÁC – TỨ GIÁC Bài 1. Cho tam giác ABC, vuông tại A và 60ABC . Hãy chia tam giác ABC thành bốn tam giác vuông bằng nhau. LỜI GIẢI Cách 1: Bốn tam giác AFE, BFD, EDF, DEC là các tam giác vuông bằng nhau. Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A và 60ABC , ta có 302ABCBCAB . Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB EFBDDC Và ,//,//,//.AFFBEDEFBCEDABFDAC Suy ra 90EDFDECBFD . Cách 2: ADBDDC bốn tam giác AFD, DEA, BDF, DEC là các tam giác vuông bằng nhau. Cách 3: Ta có: ADAB . Hạ AH vuông góc với BC. Khi đó tam giác ABH và ADH bằng nhau. Suy ra bốn tam giác ABH, ADH, ADE, CDE bằng nhau. Cách 4: Tam giác ABD là tam giác đều, K là trung điểm AD, suy ra bốn tam giác vuông BAK, BDK, ADE, CED bằng nhau. Bài 2. Có tồn tại hay không một tam giác có hai đường trung tuyến nhỏ hơn nửa cạnh đối diện? LỜI GIẢI Giả sử BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác ABC thỏa mãn 1 2BDAC và 1 2CEAB . Ta có: DBDA và BDDC . Xét tam giác ABD có DBDA , theo tính chất quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, ta có BADABD (1) Tương tự BDCDBCDDBC (2) Cộng hai vế của đẳng thức (1) và (2) ta được: Theo tính chất tổng ba góc tronng tam giác 180ABCABC hay 90ABC . Tương tự 90ACB Như vậy tam giác ABC có hai góc 90ABC và 90ACB . Điều này không xảy ra. Vậy không tồn tại tam giác nào có hai đường trung tuyến nhỏ hơn nửa cạnh cạnh đối diện. Bài 3. Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Chứng minh 11 22ABACADABAC LỜI GIẢI
Lấy điểm E trên tia đối của tia DA sao cho DEAD . Giả thiết DBDC (..).ADBEDCcgcCEAB Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ACE:
ACCEAEACCE 2ACACADACAB 11 22ACACADACAB Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao BD và CE. Gọi P, Q là hình chiếu của B và C trên DE. Chứng minh PEDQ LỜI GIẢI Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Theo giả thiết, BD và CE là các đường cao của tam giác ABC  các tam giác BDC và CEB là các tam giác vuông nhận BC là cạnh huyền. 11 , 22MDBCMEBC MDME tam giác MDE cân tại M. Gọi N là hình chiếu của M trên DE. Khi đó NDNE và MN song song với BP và CQ. Giả thiết MBNMCNMPNMQNMBMCSSSS NPNQPENPNENQNDDQ Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB và AD lấy các điểm P và Q sao APAQAB . Chứng minh DP vuông góc với CQ. LỜI GIẢI Theo giả thiết APAQAB , suy ra APABAQADAQDQ . Tam giác ADP và DCQ là hai tam giác vuông có ,ABCDAPDQ  hai tam giác ADP và DCQ bằng nhau ADPDCQ ABCD là hình vuông nên: 90PDCADP 9090PDCQCDADPADP  DP vuông góc với CQ. Bài 6. Cho hình vuông ABCD. Đường thẳng m thay đổi luôn qua đỉnh B. Gọi H và K là hình chiếu của A và C trên m. AK và CH cắt nhau tại E. Chứng minh rằng DE vuông góc với m. LỜI GIẢI Nối H với D và nối K với D. Vì H, B, K cùng nằm trên đường thẳng m. 90HBAKBC Mà 90HBAHABHBAKCB . Tam giác HAB và tam giác KCB là hai tam giác vuông có ABBC và HBAKCB  hai tam giác HAB và KCB bằng nhau HBCK và HABK Ta có 90HADHABBADKBCABK  tam giác HAD và tam giác KBA bằng nhau (c.g.c) ADHBAK Mặt khác 90BAKDAK 90ADHDAK DH vuông góc với AK. Tương tự CH vuông góc với DK. Tam giác HDK có AK và CH là hai đường cao cắt nhau tại E  E là trực tâm tam giác  BE vuông góc với HK  DE vuông góc đường thẳng m.
Bài 7. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M trên BC và điểm N trên CD. Biết BMDNMN . Chứng minh rằng 45MAN Điều ngược lại có đúng không? LỜI GIẢI Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với MA cắt CD kéo dài tại E 90BAMMADMAEMADDAE Tam giác ABM và ADE là hai tam giác vuông có ,ABADBAMDAE nên chúng bằng nhau (g.c.g) ,AMAEBMDE . Từ giả thiết: MNBMDNDEDNNE . Xét hai tam giác AMN và AEN có AMAE , MNNE và cạnh AN chung.  hai tam giác AMN và AEN bằng nhau (c.c.c) MANEAN . Mà 9045MAEMAN Ngược lại, 45MAN , AE vuông góc với AM ,AMAEBMDE và 45EAN  tam giác MAN và EAN bằng nhau (c.g.c) MNEN hay BMDNMN Bài 8. Cho hình vuông ABCD. Góc 45xAy quay quanh đỉnh A cắt các cạnh BC, CD tại M và N. Chứng minh rằng: a) Chu vi tam giác CMN không phụ thuộc vào vị trí chuyển động của góc xAy b) Khoảng cách từ A đến MN không đổi. LỜI GIẢI a) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt CD tại E. BAMDAE tam giác ABM và tam giác ADE bằng nhau (c.g.c) ,BMDEAMAD . Theo giả thiết góc 45MAN45NAE  tam giác NAM và tam giác NAE bằng nhau (c.g.c) MNEN  chu vi tam giác CMN MNNCCMENNCCM EDDNNCCM BMDNNCCMDCCB Vậy chu vi tam giác CMN bằng nửa chu vi hình vuông ABCD. b) Hạ AH vuông góc với MN. Tam giác AMN và tam giác AEN bằng nhau  hai đường cao tương ứng AHAD  khoảng cách từ A tới MN không đổi. Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Góc có số đo 45 quay quanh đỉnh A cắt các cạnh BC, CD tại M và N. Đường chéo BD cắt AM, AN tại P, Q. Chứng minh rằng 222QPQDBP LỜI GIẢI Cách 1. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BD, hai đường này cắt nhau tại E BAMDAE ABCD là hình vuông 45ADB 45ADEBDEADB  tam giác ABP bằng tam giác ADE (g.c.g) vì có ADAB ,APAEBPDE . Theo giả thiết 4545MANNAE  tam giác QAP và tam giác QAE bằng nhau (c.g.c) QPQE Tam giác DEQ là tam giác vuông tại D 222EQQDDE