Tiêu đề Chuyên đề 23. HÌNH TRỤ.doc ✅

CHƯƠNG IV: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu Chuyên đề 23. HÌNH TRỤ A. Kiến thức cần nhớ 1. Hình trụ: Khi quay hình chữ nhật 'ABOO một vòng quanh cạnh 'OO cố định ta được một hình trụ. - Hai đáy là hai hình tròn O và 'O bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song. - Đường thẳng 'OO gọi là trục của hình trụ. - AB là một đường sinh. Đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đường sinh là chiều cao của hình trụ. 2. Cắt hình trụ:  Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với đáy thì mặt cắt là một hình tròn bằng hình tròn đáy.  Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật. 3. Diện tích xung quanh của hình trụ: 2;xqSRh 2 22tpSRhR hay 2tpSRhR ( R là bán kính đáy; h là chiều cao). 4. Thể tích hình trụ: 2 ...VRh B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50189cmxcm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50cm . Hãy tính: a) Diện tích tôn để làm hai đáy; b) Thể tích của hình trụ được tạo thành. Giải a) Vì chiều cao của hình trụ là 50cm nên chu vi hình tròn đáy là 189Ccm . Ta có 189230 22 C CRRcm  . Vậy bán kính hình tròn đáy là 30cm . Diện tích tôn để làm hai đáy là: 22222..301800SRcm b) Thể tích hình trụ là: 223.30.5045000VRhcm Nhận xét: Để trả lời hai câu hỏi của bài toán, ta cần biết bán kính của đường tròn đáy. Muốn vậy, phải xác định cạnh nào của tấm tôn cần giữ nguyên để làm chiều cao của hình trụ, cạnh nào phải cuộn lại. Từ công thức tìm chu vi của hình tròn suy ra cách tìm bán kính. Ví dụ 2. Một hình trụ có chiều cao là 25cm và diện tích toàn phần là 21200cm . Tính thể tích của hình trụ đó. Giải Gọi bán kính đáy của hình trụ là R , chiều cao hình trụ là h . Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 21200cm nên 21200RhR .
Suy ra 225600256000RRRR . Phương trình có hai nghiệm: 115R (chọn); 240R (loại). Vậy bán kính đáy hình trụ là 15cm . Thể tích hình trụ là: 223.15.255625VRhcm Nhận xét: Ta đã biết chiều cao nên muốn tính thể tích hình trụ chỉ cần tìm bán kính đáy. Do đó ta tìm bán kính đáy từ công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ. Ví dụ 3. Hình 23.3 vẽ một hình trụ với ABCD là một mặt cắt song song với trục. Diện tích mặt cắt là 2 96cm , 8ABcm . Biết tâm O cách AB là 3cm . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. Giải Mặt cắt ABCD là một hình chữ nhật. Diện tích mặt cắt là 296cm nên 2.96ABADcm . Suy ra 969612 8ADcm AB . Vậy chiều cao của hình trụ là 12cm . Trong mặt phẳng đáy, vẽ OHAB . Ta có 8:24HAHBcm . Xét AOH△ vuông tại H có 222223425OAOHAH Suy ra 5OAcm . Vậy bán kính đáy là 5cm . Diện tích xung quanh của hình trụ là: 222..5.12120xqSRhcm . Thể tích của hình trụ là: 223.5.12300VRhcm Nhận xét: Để xác định đúng chiều cao và bán kính đáy của hình trụ trong ví dụ này, ta dựa vào mặt cắt ABCD . Từ số đo diện tích là 296cm và 8ABcm , ta tìm ra chiều cao. Từ khoảng cách 3OHcm ta tìm được bán kính nhờ định lí Py-ta-go. Ví dụ 4. Một hình trụ có diện tích toàn phần bằng 2432cm và chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy. Chứng minh rằng diện tích xung quanh bằng 10 lần diện tích đáy. Giải Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h . Vì chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy và diện tích toàn phần bằng 2432cm nên ta có hệ phương trình:  5.(1) 2432(2) hR RhR      Giải hệ này bằng phương pháp thế: Thế 5hR vào phương trình (2) ta được: 225432366RRRRR . Giá trị 6R bị loại. Vậy 6 30 R h     Diện tích xung quanh của hình trụ là: 222..6.30360xqSRhcm . Diện tích đáy của hình trụ là: 222.636SRcm . Ta thấy: 360 10 36 xqS S   (lần). Do đó diện tích xung quanh gấp 10 lần diện tích đáy. Ví dụ 5. Cho hình trụ có bán kính đáy là 10cm và diện tích xung quanh là 2420cm . Vẽ một đường sinh PQ cố định. Lấy điểm M trên đường tròn đáy, có chứa điểm Q . Xác định vị trí của điểm M để PM lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Giải Gọi bán kính hình trụ là R và chiều cao hình trụ là h . Ta có: 2xqSRh suy ra 42021 22.10 xqS hcm R   . Ta có PQ là đường sinh nên 21PQcm và PQ vuông góc với mặt phẳng đáy. Suy ra PQQM . Xét PQM△ vuông tại Q , ta có: 222222 21441PMPQQMQMQM . Do đó PM lớn nhất QM lớn nhất QM là đường kính 20QMcm . Vậy max 44140084129PMcm khi QM là đường kính của đường tròn đáy. Lưu ý : Trong hình trụ, đường sinh vuông góc với đáy nên vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy, do đó PQQM . Ví dụ 6. Một hình trụ có thể tích là 3Vm và diện tích toàn phần là 2Sm . Gọi R là bán kính đáy hình trụ và h là chiều cao của nó. Biết thương V S bằng 1 2m , chứng minh rằng 11 1 hR . Giải Ta có: 2;2VRhSRhR . Theo đề bài ta có: 1 2 V S . Suy ra  2 111 11 22 RhRh RhRh RhRRhhR      . C. Bài tập vận dụng  Tính diện tích: 23.1. Cho hình trụ có bán kính đáy là 16cm và chiều cao bằng 30cm . Cắt hình trụ này bởi một mặt phẳng chứa trục hoặc song song với trục. Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt. 23.2. Mặt cắt chứa trục của một hình trụ là một hình vuông. Hình trụ này có số đo diện tích xung quanh (tính bằng 2m ), đúng bằng số đo thể tích (tính bằng 3m ). Tính diện tích xung quanh của hình trụ này. 23.3. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2 5 chiều cao. Cắt hình trụ này bằng một mặt phẳng chứa trục ta được một mặt cắt có diện tích là 280cm . Tính diện tích toàn phần của hình trụ. 23.4. Một hình trụ có chiều cao bằng 3 4 đường kính đáy. Biết thể tích của nó là 3 768cm . Tính diện tích xung quanh của hình trụ. 23.5. Một hộp bánh hình trụ có chiều cao nhỏ hơn bán kính đáy là 1,5cm . Biết thể tích của hộp là 3 850cm , tính diện tích vỏ hộp.  Tính thể tích: 23.6. Một hình trụ có diện tích toàn phần gấp hai lần diện tích xung quanh. Biết bán kính đáy hình trụ là 6cm . Tính thể tích hình trụ. 23.7. Một chậu hình trụ cao 20cm . Diện tích đáy bằng nửa diện tích xung quanh. Trong chậu có nước cao đến 15cm . Hỏi phải thêm bao nhiêu nước vào chậu để nước vừa đầy chậu? 23.8. Một hình trụ có thể tích là 3200cm . Giảm bán kính đáy đi hai lần và tăng chiều cao lên hai lần ta được một hình trụ mới. Tính thể tích của hình trụ này. 23.9. Một hình chữ nhật có chu vi và diện tích theo thứ tự là 28cm và 248cm . Quay hình chữ nhật này một vòng quanh một cạnh cố định để được một hình trụ. Tính thể tích lớn nhất của hình trụ này. 23.10. Một viên than tổ ong có dạng hình trụ, đường kính đáy là 114mm , chiều cao là 100mm . Viên than này có 19 lỗ “tổ ong” hình trụ có trục song song với trục của viên than, mỗi lỗ có đường kính 12mm . Tính thể tích nhiên liệu đã được nén của mỗi viên than (làm tròn đến 3cm ).
23.11. Một cây gỗ hình trụ có đường kính đáy là 4dm và dài 5m . Từ cây gỗ này người ta xẻ thành một cây cột hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông lớn nhất. Tính thể tích phần gỗ bị loại bỏ đi. 23.12. Hai mặt của một cổng vòm thành cổ có dạng hình chữ nhật, phía trên là một nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của cổng. Biết chiều rộng của cổng là 3,2m , chiều cao của cổng (phần hình chữ nhật) bằng 2,8m và chiều sâu của cổng bằng 3,0m . Tính thể tích phần không gian bên trong cổng (làm tròn đến phần mười 3m ). 23.13. Một hình lăng trụ đứng có đáy là một tam giác vuông, hai cạnh góc vuông dài 12cm và 5cm . Biết thể tích hình lăng trụ đứng này là 390cm , tính thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ nói trên.  Tính độ dài, tính tỉ số: 23.14. Một hình trụ có thể tích bằng 3125cm . Biết diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ này. 23.15. Hình bên vẽ một hình trụ, bán kính đáy 9cm , chiều cao 24cm . Biết AB và CD là hai đường sinh sao cho 0 128AOC . Điểm K trên CD sao cho 4CKcm . Một con kiến bò từ B đến K . Tính độ dài ngắn nhất mà kiến phải bò (làm tròn kết quả đến cm ). 23.16. Hình bên vẽ một hình trụ nội tiếp trong một hình hộp chữ nhật. Chứng minh rằng tỉ số giữa thể tích của hình trụ với thể tích hình hộp chữ nhật đúng bằng tỉ số giữa diện tích xung quanh của hình trụ với diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 23.1. Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng chứa trục hoặc song song với trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật. Diện tích mặt cắt là : 2.30.SABADABcm S lớn nhất AB lớn nhất. AB là đường kính 32.ABcm Khi đó max 230.32960Scm . 23.2. Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h . Ta có: 22xqSRhm ; 23VRhm . Theo đề bài các số đo của xqS và V bằng nhau nên 222RhRhRm Vì mặt cắt chứa trục là hình vuông nên 24hRm . Do đó: 222..2.416xqSRhcm Lưu ý: Vì mặt cắt chứa trục là hình vuông nên đường sinh bằng đường kính đáy. 23.3. Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h . Mặt cắt chứa trục là một hình chữ nhật có một cạnh là 2R và cạnh kề là h . Theo các điều kiện trong đề bài ta có: 2 (1) 5 2.80(2) Rh Rh       Thế R từ (1) vào (2) ta được: 2 2..80 5hh hay 2 440010hh . Giá trị 10h bị loại. Vậy chiều cao của hình trụ là 10cm .