Nội dung text Chương 4. Các bài toán cực trị về số học.doc
Chương 4. Các bài toán cực trị về số học 4.1. Giản lược kiến thức 1. Bội và ước số nguyên: Số nguyên a được gọi là chia hết cho số nguyên b khác 0 nếu tìm được số nguyên c sao cho .abc Kí hiệu, ab⋮ đọc là a chia hết cho b (a là bội số của b) Có thể viết |ba đọc là b chia hết a (b là ước số của a) 2. Số nguyên tố: Là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính số đó. Tính chất: Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số) 3. Số chính phương: Là số bằng bình phương của một số nguyên. Tính chất: • Một số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các số 0, 1, 4, 5, 6, 9. • Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. • Số các ước số của một số chính phương là số lẻ. 4. Ước chung lớn nhất (UCLN) • Một số nguyên gọi là ước chung của hai số nguyên a và b nếu nó là ước số của mỗi số a và b. • Số lớn nhất trong các ước chung của hai số nguyên tố a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b. Kí hiệu ,dab đọc là: số d là ước chung lớn nhất của a và b. 5. Bội số chung nhỏ nhất (BCNN) • Số nguyên m được gọi là bội chung của các số nguyên a và b nếu m là bội số của a và m là bội số của b. • Số nguyên dương M nhỏ nhất là bội chung của hai số a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b. Kí hiệu ,Mab đọc là M là bội chung nhỏ nhất của a và b. Chú ý: Có thể mở rộng các định nghĩa trên đây cho ước chung lớn nhất của nhiều số, bội chung nhỏ nhất của nhiều số. 6. Hợp số: Là số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố. 7. Hai số nguyên tố cùng nhau: Nếu a, b là các số nguyên thỏa mãn ,1ab thì a và b được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. 8. Nếu ..nmkApqr với p, q, r là các số nguyên tố khác nhau và m, n, k là các số tự nhiên khác 0 thì A có số các ước số bằng 111nmk 9. Nếu a, b là các số nguyên sao cho ,abd thì số các ước số chung của a và b bằng số các ước số của d 10. Nếu a, b là hai số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và .nabc với n là số nguyên dương thì nad và nbe 11. Nguyên tắc Dirichlet • Nếu nhốt m con thỏ vào n chuồng mn thì phải có ít nhất là một chuồng chứa từ hai con trở lên. • Để áp dụng nguyên tắc Dirichlet cần làm xuất hiện tình huống nhốt thỏ vào chuồng thỏa mãn hai điều kiện: + Số thỏ nhiều hơn số chuồng. + Thỏ phải được nhốt hết vào chuồng, nhưng không bắt buộc chuồng nào cũng có thỏ. 4.2. Các bài toán vận dụng Bài 1: (Thi vào lớp 10 Phổ thông năng khiếu Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 2002) Cho m, n là các số nguyên thỏa mãn 111 23mn Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức .Bmn Hướng dẫn Ta có 1112339 23mn mn Vì .mn là các số nguyên nên 23m và 3n cũng là các số nguyên. Lập bảng 23m 1 –1 3 –3 9 –9
3n 9 –9 3 –3 1 –1 m 2 1 3 0 6 –3 n 12 –6 6 0 4 2 .Bmn 24 –6 18 0 24 –6 Trường hợp 0m , 0n bị loại vì m, n khác 0. Từ bảng trên đây suy ra: max24,2,12Bmn ; 6,4 . min6,1,6Bmn ; 3,2 . Bài 2: 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 292019 xy 1 . 2. Giả sử ,xy là một nghiệm nguyên của phương trình 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 29Sxy . Hướng dẫn 1. Phương trình 2201991 xy . Bởi vì x, y là các số nguyên, vế trái là số chẵn, do đó vế phải cũng là số chẵn, suy ra y là số lẻ hay 21yt với t là số nguyên. Khi đó 2201992110059xtxt . Vậy nghiệm nguyên tổng quát của phương trình 1 là 10059 21 xt yt , với t là số nguyên. 2. Ta có 222910052021181701010005Stttt . 2908572437207243720St min7243720S khi 9085t . Bài 3: (Thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hòa Bình 2012 - 2013) Cho bốn số nguyên dương có tổng là 2013. Hãy tìm giá trị lớn nhất của tích bốn số đó. Hướng dẫn Giả sử bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn 2013abcd và tích abcd lớn nhất. Không mất tính tổng quát, giả sử 1abcd Nếu 2da : Xét bộ bốn số nguyên dương sau: 11aa , 1bb , 1cc , 11dd . Ta có 11111110abcdabcdabcdabcdbcda 1111abcdabcd (vô lí) vì mâu thuẫn với giả sử abcd lớn nhất. Vậy 20dada hoặc 1da . • Nếu 042013dadaabcda (vô lí). • Nếu 11dada mà abcd nên xét các trường hợp: 1) Bốn số là ;;;1412013503aaaaaa . Ta có bộ bốn số là 503, 503, 503, 504. 2) Bốn số là ;;1;1422013aaaaa (vô lí). 3) Bốn số là ;1;1;1432013aaaaa (vô lí). Vậy có duy nhất 4 số 503, 503, 503, 504 và tích lớn nhất là 3503.504 . Bài 4: (Thi vào lớp 10 chuyên Toán Thành phố Hồ Chí Minh 2006) Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất thỏa mãn đồng thời a. Chữ số tận cùng bằng 6 b. Nếu bỏ chữ số 6 cuối ấy và thêm chữ số 6 vào trước các chữ số còn lại thì số mới nhận được gấp 4 lần số ban đầu. Hướng dẫn Giả sử 12...6nNaaa ( 1a , 2a ,…, na là các chữ số). Cần tìm N nhỏ nhất thỏa mãn 1246...nNaaa . Ta có 12...6naaa 4
Bài 8: Cho x; y; z là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: 3xyyzzx zxy . Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tổng 333Sxyz . Hướng dẫn Biến đổi 222222 33xyyzzx xyxzzyxyz zxy (với x, y, z là các số nguyên khác 0). Nhận thấy vế trái dương nên xyz dương. Suy ra • Hoặc là cả ba số x, y, z đều dương. • Hoặc là có một số dương, hai số âm. Mặt khác: Nếu (,,)abc là một nghiệm thì ,(),abc ; )1,,(bc ; ,(,)abc cũng là nghiệm. Do vậy ta chỉ cần tìm các nghiệm (,,)xyz mà (,,)xyz là các số nguyên dương. Ta có: 2222222222226xyzxyxzxyyzyzzx 62.2.2.xyzxyxzxyyzyzzx 623xyzxyzxyzxyz mà 1x , 1y , 1z suy ra 1xyz Theo nhận xét trên, ta có tất cả các nghiệm của phương trình 1 là: ,,1,1,1;1,1,1;1,1,1;1,1,1xyz . Suy ra: max3,,1,1,1Sxyz min1,,1,1,1;1,1,1;1,1,1Sxyz . Bài 9: Giả sử p là một số nguyên tố. Hãy tìm số tự nhiên n khác 0 bé nhất thỏa mãn điều kiện: Nếu n chia hết cho 1p thì n cũng chia hết cho p. Hướng dẫn Dùng phương pháp thử chọn. Gọi n là số cần tìm Ta có 1n⋮ , mà 121 , do đó 2n⋮ . Ta có 2n⋮ , mà 231 , do đó 3n⋮ . Ta có 2,312.3n⋮ hay 6n⋮ . Ta có 6n⋮ mà 671 , do đó 7n⋮ . Ta có 6,716.7n⋮ hay 42n⋮ . Ta có 42n⋮ mà 42431 (43 là số nguyên tố), do đó 43n⋮ . Ta có 42,43142.431806n⋮ 180618071 mà 180713139 không là số nguyên tố. Vậy số nhỏ nhất 1806n . Bài 10: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 ta có số dư là 5 và khi chia số đó cho 31 có số dư là 28. Hướng dẫn Gọi A là số nguyên dương cần tìm. Ta có 2953128Abc với b và c là các số tự nhiên. Suy ra 29223bcc . Do đó bc là số lẻ và 1bc . Ta có A nhỏ nhất c nhỏ nhất 22923cbc nhỏ nhất hoặc có nghĩa bc nhỏ nhất. Chọn 12292363bccc và do đó 121A . Bài 11: Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho khi chia số đó cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, cho 7, cho 8, cho 9, cho 10 thì nhận được các số dư lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra thêm 1 vào số đã cho thì được số lần lượt chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Gọi A là số cần tìm, ta có 12,3,4,5,6,7,8,9,1025202519AA .