Tiêu đề Bài 3_Lời giải.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 11-CTST-PHIÊN BẢN 25-26 1 BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số liên tục tại một điểm Cho hàm số y f x =   xác định trên khoảng K và x K 0 Î . Hàm số y f x =   được gọi là liên tục tại điểm 0 x nếu     ® = 0 0 lim . x x f x f x Nhận xét: Để hàm số y f x =   liên tục tại 0 x thì phải có cả ba điều kiện sau: 1. Hàm số xác định tại 0 x ; 2. Tồn tại   ® 0 limx x f x ; 3.     ® = 0 0 lim . x x f x f x Chú ý: Khi hàm số y f x =   không liên tục tại điểm 0 x thì ta nói f x  gián đoạn tại điểm 0 x và 0 x được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f x  . 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn • Cho hàm số y f x =   xác định trên khoảng a b; . Hàm số y f x =   được gọi là liên tục trên khoảng a b;  nếu f x  liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy. Cho hàm số y f x =   xác định trên khoảng é ù ë û a b; . Hàm số y f x =   được gọi là liên tục trên đoạn é ù ë û a b; nếu f x  liên tục trên khoảng a b;  và         ® ® + - lim , lim . = = x a x b f x f a f x f b Nhận xét: Đồ thị của hàm số y f x =   liên tục trên đoạn é ù ë û a b; là một đường liền, có điểm đầu, điểm cuối (Hình 3). Nếu hai điểm này nằm về hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. Điều này còn được phát biểu dưới dạng sau: Nếu hàm số y f x =   liên tục trên đoạn é ù ë û a b; và f a f b  . 0   < thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c a b sao cho c Î =  ; f 0    .
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CTST-PHIÊN BẢN 25-26 2 3. Tính liên tục của hàm sơ cấp • Hàm số đa thức y P x =  , các hàm lượng giác y x y x = = sin , cos liên tục trên ¡ . • Hàm số phân thức     = P x y Q x , hàm số căn thức y P x =   , các hàm số lượng giác y = tan x , y = cot x liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng. Trong đó P x x   và Q  là các đa thức. Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp. 4. Tổng, hiệu, tích thương của hàm số liên tục Cho hai hàm số y f x và x =   y= g liên tục tại điểm 0 x . Khi đó: • Các hàm số y f x x f x x và f x x = +   g ,y = - g y = .g          liên tục tại 0 x . • Hàm số     = f x y g x liên tục tại 0 x nếu   1 0 g 0 x . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp Ta cần phải nắm vững định nghĩa: Cho hàm số y f x =   xác định trên khoảng K và 0 x K. Î Hàm số y f x =   gọi là liên tục tại 0 x nếu 0 0 x x0 x x x x o o lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ). ® ® ® - + = Û = = 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho   x 2 2 x f x x + - - = với x 0. 1 Phải bổ sung thêm giá trị f 0  bằng bao nhiêu thì hàm số liên tục tại x 0? = Lời giải       x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 2 x x 2 2 x lim f x lim lim x x 2 2 x 2 1 lim . x 2 2 x 2 ® ® ® ® + - - + - + = = + + - = = + + - Như vậy để hàm số liên tục tại x 0 = thì phải bổ sung thêm giá trị   1 f 0 . 2 = Ví dụ 2: Cho hàm số   2 a x vôùi x 1 vaø a f x . 3 vôùi x 1 ìï - 1 Î = í ïî = ¡ Giá trị của a để f x  liên tục tại x 1= là bao nhiêu? Lời giải TXĐ: D . = ¡ Ta có:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CTST-PHIÊN BẢN 25-26 3     2 x 1 x 1 limf x lim a x a 1. ® ® = - = - Để hàm số liên tục tại     x 1 x 1 limf x f 1 a 1 3 a 4. ® = Û = Û - = Û = Ví dụ 3: Cho hàm số   2 3 x 1 vôùi x 3 vaø x 2 f x . x x 6 b 3 vôùi x 3 vaø b ì + ï 1 1 - = í - + ï î + = Ρ Tìm b để f x  liên tục tại x 3. = Lời giải TXĐ: D . = ¡ Ta có:     2 3 x 3 x 3 x 1 3 lim f x lim ; f 3 b 3. ® ® x x 6 3 + = = = + - + Để hàm số liên tục tại     x 3 3 2 3 x 3 lim f x f 3 b 3 b . ® 3 3 - = Û = Û + = Û = Ví dụ 4: Cho hàm số   a 2 khi x 2 f x . sin khi x 2 x ì - < ï = í p ï 3 î Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x 2. = Lời giải TXĐ: D . = ¡ Ta có         x 2 x 2 x 2 x 2 f 2 sin 1 2 lim f x lim a 2 a 2 lim f x lim sin 1 2 ® ® - - ® ® + + ü p ï = = = - = - ý ï p = = þ g g g Hàm số liên tục tại x 2 = khi a 1 2 a 3. - = Û = Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm 0 x .   3 3x 2 2 neáu x 2 f x x 2 ax 2 neáu x 2 ì + - ï > = í - ï î + £ ; 0 x 2. = Lời giải TXĐ: D . = ¡ Ta có:         3 2 x 2 x 2 x 2 3 3 3x 2 2 1 3 x 2 lim f x lim lim . x 2 4 x 2 3x 2 2 3x 2 4 ® ® ® + + + + - - = = = - é ù - + + + + ê ú ë û   x 2 lim f x ax 2 2a 2. ® - = + = + Lại có: f 2 2a 2   = + . Hàm số liên tục tại 0 x 2 = nếu 1 7 2a 2 a . 4 8 + = Þ = -