Tiêu đề Chuyên đề 5. Số nguyên tố và hợp số.pdf ✅

Trang 1/20 CĐ 5: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ Dạng 1: Sử dụng các tính chất của phép chia số nguyên Dạng 2: Áp dụng định lý Fermat Dạng 3: Sử dụng phương pháp phân tích Dạng 4: Giải phương trình nghiệm nguyên dựa vào tính chất số nguyên tố Dạng 5: Các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau Dạng 1. Sử dụng các tính chất của phép chia số nguyên Câu 1. (HSG 7 huyện Bá Thước 2022 - 2023) Cho a b c d , , ,   thỏa mãn   2 2 2 2 a b c d    2021 3 . Chứng minh a b c d    là hợp số. Lời giải Ta có:   2 2 2 2 a b c d    2021 3  2 2 2 2 2 2 a b c d c d      2022 3064 Mà   2 2 2022 6064 2 c d  nên   2 2 2 2 a b c d    2 Ta xét 2 2 2 2   ( ) ( ) 2 a a b b c c d d a b c d              Mà 2 2 ( ) ( 1) 2; ( 1) 2; ( 1) 2; ( 1) 2 a a a a b b b b c c d d         a b c d     2 . Do a b c d , , ,   nên a b c d     2 Vậy a b c d    là hợp số. Câu 2. (HSG 7 trường THCS Võ Thị Sáu 2022 - 2023) Chứng minh rằng nếu 2 1 n  là số nguyên tố n  2 thì 2 1 n  là hợp số. Lời giải Ta có: 2 1 n  ; 2 n ; 2 1 n  là ba số tự nhiên liên tiếp nên một trong ba số sẽ chia hết cho 3 . Mà 2 1 n  là số nguyên tố n  2 nên 2 1 n  không chia hết cho 3 Mặt khác: với n  2 thì 2 n là số chẵn nên 2 n không chia hết cho 3 Suy ra: 2 1 n  chia hết cho 3 Vậy 2 1 n  là hợp số (đpcm). Câu 3. (HSG 7 huyện Triệu Sơn 2022 - 2023) Cho số nguyên tố p . Giả sử x , y là các số tự nhiên khác 0 , thỏa mãn điều kiện 2 2 x py xy  là các số tự nhiên. Chứng minh rằng 2 2 1 x py p xy    . Lời giải Gọi ƯCLN  x y d d , *      , khi đó tồn tại các số tự nhiên a và b để x da  ; y db  và a b; 1   Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * x py d a pd a a pb xy d ab ab       .
Trang 2/20 Từ đó ta được:   2 2 a pb ab     2 2 a pb b   2 a b . Do a b; 1   nên ta suy ra được b 1 . Suy ra   2 a p a   p a . Do p là số nguyên tố nên ra được a  1 hoặc a p  . Khi đó ta xét các trường hợp  Với a  1 , khi đó ta được x y d   2 2 2 2 2 1 x py d pd p xy d       .  Với a p  , khi đó ta được x dp  ; y d  2 2 2 2 2 2 1 x py d p d p p xy d p       . Vậy ta luôn có 2 2 1 x py p xy    Câu 4 (HSG 7 huyện Thọ Xuân 2022 - 2023) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì  p p   1 1   chia hết cho 24 . Lời giải Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p k   3 1 hoặc p k k N    3 2 *   - Nếu p k   3 1 thì  p     1 1 1 1  p      3 1 3 1 3 2 .3 3 k k    k   k - Nếu p k   3 2 thì  p   1 1 1 1  p        3 2 3 2 3 3 . 3 1 3. 1 3 1 3 k k k k k             k  Suy ra  p p   1 1   chia hết cho 3 1 Ta lại có: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ Do đó p 1 và p 1 là hai số chẵn liên tiếp Suy ra  p p   1 1   chia hết cho 8 2 Mà 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau 3 Từ 1 ,2 và 3 suy ra  p p   1 1   chia hết cho 24 . Câu 5 (HSG 7 Diễn Châu Liên trường THCS 2022 - 2023) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 , biết p  2 cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng p 1 chia hết cho 6 . Lời giải Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, do đó p 1 chẵn    p 1 2  (1) Cũng do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p k   3 1 hoặc p k   3 2 k   Nếu p k   3 1 thì p k k      2 3 3 3 1 3    p  2 không là số nguyên tố nên p k   3 1 không xảy ra. Do đó p k   3 2  p k k      1 3 3 3 1 3   (2) Vì 2;3 1   nên từ (1) và (2) ta có  p 1 6  Câu 6. (HSG 7 Thị xã Thái Hòa 2022 - 2023) Tìm số nguyên tố p và q sao cho 2 2 p q   2 17 Lời giải
Trang 3/20 Từ gt: 2 2 p q – 2 17   2 2 p q – 17 2  suy ra p lẻ. Với p lẻ  2 p chia 4 dư 1  2 p – 17 chia hết cho 4  2 2q chia hết cho 4  q 2  vì q là số nguyên tố. Với q 2  ta có p 5  Câu 7. (HSG 7 huyện Lục Ngạn 2022 - 2023) Cho p và 2 1 p  là các số nguyên tố lớn hơn 3 . Chứng minh rằng 5 2 p  là hợp số. Lời giải Vì p là số nguyên tố lớp hơn 3 nên p có dạng 3 1 k  hoặc 3 2 k  với * k  -Nếu p k   3 1  2 1 2 3 1 1 6 3 3 2 1) p k k k             Khi đó 2 1 p  lớn hơn 3 và có ít nhất 3 ước là 1 ; 3 ; 2 1 p  trái với giả thiết 2 1 p  là số nguyên tố Do đó p có dạng 3 2 k  Xét 5 2 5. 3 2 2 15 12 3 5 4 p k k k             Khi đó 5 2 p  lớn hơn 3 và có ít nhất 3 ước là 1 ; 3 ; 5 2 p  nên 5 2 p  là hợp số. Vậy Cho p và 2 1 p  là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì 5 2 p  là hợp số (đpcm). Câu 8. (HSG 7 huyện Lập Thạch 2022 - 2023) Tìm các số nguyên tố p sao cho 2 2 p  p là một số nguyên tố. Lời giải Với p  2 thì 2 2 2 2 2 2 8 p     p là hợp số Với p  3 thì 2 3 2 2 2 3 17 p     p là số nguyên tố Với p là số nguyên tố và p  3 nên p k   3 1 hoặc p k   3 2 với k  * Ta có     2 2 2 2 1 1 p p      p p vì 2 1 3  p  và   2 p 1 3 với mọi số nguyên tố p có dạng: p k   3 1 hoặc p k   3 2 với k  * . Suy ra     2 2 2 2 1 1 p p      p p là hợp số. Vậy Với p  3 thì 2 3 2 2 2 3 17 p     p là số nguyên tố. Câu 9. (HSG 7 huyện Thanh Trì; Hiệp Hòa 2022 - 2023) Tìm số nguyên tố x y; thỏa mãn: 2 2 x y   2 1 Lời giải Xét 2 2 x y   2 1 suy ra 2 2 x y   2 1 - Nếu x chia hết cho 3 mà x là số nguyên tố nên x  3 Thay vào tính đươc y  2 là số nguyên tố (Chọn) - Nếu x không chia hết cho 3 , thì x chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2  2 x chia cho 3 dư 1    2 x 1 3 Suy ra 2 2 y chia hết cho 3 mà 2,3 1   nên 2 y chia hết cho 3 mà 3 là số nguyên tố nên y chia hết cho 3 Mà y là số nguyên tố nên y  3 Thay vào tính được 2 x 19 (loại)
Trang 4/20 Vậy có duy nhất cặp số  x y, 2,3     thỏa mãn bài toán. Câu 10. (HSG 7 huyện Ninh Giang 2022 - 2023) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn 10 1 p  cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng: 5 1 6 p   . Lời giải Ta có p là số nguyên tố lớn hơn 3 Xét ba số tự nhiên liên tiếp 10 p ; 10 1 p  ; 10 2 p  trong đó có một số chia hết cho 2 , một số chia hết cho 3 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 10 1 p  là số nguyên tố nên p và 10 1 p  không chia hết cho 2 và cho 3 . mà 3 và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau nên 10 3, 10 1 3 p p  do đó 10 2 3 2 5 1 3 5 1 3 p p p           p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ  5 1 p  chẵn  5 1 2 p   Vì 5 1 3 p   và 5 1 2 p   mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên 5 1 6 p   Vậy p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn 10 1 p  cũng là số nguyên tố thì 5 1 6 p   . Câu 11. (HSG 7 huyện Thanh Sơn 2022 - 2023) Tìm số nguyên tố p sao cho 2 1 p  và 4 1 p  đều là số nguyên tố. Lời giải - Xét p  2 thì 4 1 9 p   là hợp số (loại) - Xét p  3 thì 2 1 7; 4 1 13 p p     đều là số nguyên tố - Nếu p  3 thì p 3 nên p k   3 1 hoặc p k   3 2 k  * - Xét được p k   3 1 thì 2 1 p  là hợp số (loại) - Xét được p k   3 2 thì 4 1 p  là hợp số (loại) - Kết luận: p  3 thì 2 1 7; 4 1 13 p p     đều là số nguyên tố Câu 12. (HSG 7 huyện Hà Trung 2 2022 - 2023) Cho a b c d , , , là các số nguyên dương thỏa mãn   2 2 2 2 2 a b c d b     2 3 5 . Chứng minh: a b c d    là hợp số. Lời giải Ta có:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d b a b b c d c d b b c d                2 3 5 2 3 3 5 3   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d c d b b c d c d c d              3 5 3 4 14 2.(2 7 ) 2 2 2 2 2     ( ) 2 a b c d (1) Xét hiệu:     2 2 2 2 a b c d a b c d                a a b b c c d d  1 1 1 1        a a 1 ; b b 1 ; c c 1 ; d d 1 đều là các tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 Suy ra:     2 2 2 2   a b c d a b c d        2   (2) Từ (1) và (2) suy ra: a b c d     2 mà a b c d     2 nên a b c d    là hợp số.