Tiêu đề Chương 6_Bài 4_ _Lời giải_Toán 11_CTST.pdf ✅

BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Phương trình mũ Phương trình dạng = x a b , trong đó a và b là những số cho trước, a a   0, 1 , được gọi là phương trình mũ cơ bản. Nghiệm của phương trình mū cơ bản Cho phương trình = ( 0, 1) x a b a a . Nếu b  0 thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất = loga x b . Nếu b  0 thì phương trình vô nghiệm. Chú ý: a) Nếu  b a = thì ta có  =  = x a a x . b) Tổng quát hơn, ( ) ( ) =  = ( ) ( ) u x ı x a a u x v x . Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) 1 2 8 = x b) 5 10 1  = x ; c) 1 27 9 3     =   x x Lời giải a) 1 3 2 2 2 3 8 − =  =  = − x x x . b) 1 1 5.10 1 10 log log5 5 5 =  =  = = − x x x . c) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 1 27 1 3 3 3 3 2 3 1 5 1 9 3 3 5   − − −   =  =  =  − = −  =  =   x x x x x x x x x x . Ví dụ 2. Nếu khối lượng carbon-14 trong cơ thể sinh vật lúc chết là M g 0 ( ) thì khối lượng carbon-14 còn lại (tính theo gam) sau t năm được tính theo công thức ( ) 0 ( ) 1 2 t T M t M g   =     , trong đó T = 5730 (năm) là chu kỳ bán rã của carbon-14. Nghiên cứu hóa thạch của một sinh vật, người ta xác định được khối lượng carbon-14 hiện có trong hóa thạch là 13 5.10− g. Nhờ biết tỉ lệ khối lượng của carbon-14 so với carbon-12 trong cơ thể sinh vật sống, người ta xác định được khối lượng carbon-14 trong cơ thể sinh vật lúc chết là 2 0 1 M 1,2.10− = (g). Sinh vật này sống cách đây bao nhiêu năm? (Làm tròn đến kết quả hàng trăm.) Lời giải Gọi t là thời gian từ lúc sinh vật chết đến nay. Ta có: 13 12 1 5 5.10 1,2.10 . 2 12 t T − −   = =     1 2 5 log 12 t T  = 1 2 2 5 5 log 5730.log 7 237 7200 12 2  = = −   t T . Vậy sinh vật này sống cách đây khoảng 7 200 năm.
Giải các phương trình sau: a) 2 3 3 9 x+ = b) 2 2.10 30 x = c) 2 2 1 4 8 x x− = Lời giải a) 2 2 2 3 3 2 4 3 9 3 3 2 3 3 x x x x + + − =  =  + =  = b) 2 2 log15 2.10 30 10 15 2 log15 2 x x =  =  =  = x x c) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 3 4 6 3 3 4 8 2 2 2 2 4 6 3 2 x x x x x x x x x − − − =  =  =  = −  = Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ từ khối lượng ban đầu M0 là ( ) 0 1 2 t T M t M   =     , trong đó t là thời gian tính từ thời điểm ban đầu và T là chu kỳ bán rã của chất. Đồng vị plutonium-234 có chu kỳ bán rã là 9 giờ. (Nguồn: https://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/elemene/Plutonium#section=Atomic-Mass-Half-Life-and- Decay) Từ khối lượng ban đầu 200 g, sau bao lâu thì khối lượng plutonium-234 còn lại là: a) 100 g? b) 50 g? c) 20 g? Lời giải ( ) ( ) 0 1 2 0 1 log 2 t T M t M t M t T M   =  =      a) Khi M t( ) =100 thì 1 2 100 9.log 9 200 t = = (giờ) b) Khi M t( ) = 50 thì 1 2 50 9.log 18 200 t = = (giờ) c) Khi M t( ) = 20 thì 1 2 50 9 log 30 200 t =  = (giờ) 2. Phương trình lôgarit Phương trình dạng loga x b = , trong đó ab, là những số cho trước, a  0 , a 1 , được gọi là phương trình lôgarit cơ bản. Nghiệm của phương trình lôgarit cơ bản Phương trình loga x b = (a a   0, 1) luôn có nghiệm duy nhất b x a = . Chú ý: Tổng quát, xét phương trình dạng log log 0, 1 a a u x x a a ( ) =   v ( ) ( ). (1) Để giải phương trình (1) , trước hết cần đặt điều kiện có nghĩa: u x( )  0 và v x( )  0 . Khi đó, (1) được biến đổi thành phương trình u x v x ( ) = ( ) (2) Sau khi giải phương trình (2) , ta cần kiểm tra sự thỏa mãn điều kiện. Nghiệm của phương trình (1) là
nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện. Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a) 3 log x = −2; b) ( ) ( ) 2 2 2 log log 2 x x −3 = . Lời giải a) Điều kiện: x  0 . 3 log 2 x = − . b) Điều kiện: 2 2 0 x 3 0 x    −   (*) Khi đó, phương trình đã cho trở thành 2 2 x x x x − = − − 3 2 3 2  = 0  = − x 1 hoặc x = 3. Thay lần lượt hai giá trị này vào (*) , ta thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. Ví dụ 4. Nước chanh có độ pH là 2,4 ; giấm có độ pH bằng 3 . Nước chanh có độ acid gấp bao nhiêu lần giấm (nghĩa là có nồng độ + H gấp bao nhiêu lần)? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.) Lời giải Kí hiệu x y, lần lượt là nồng độ H + trong nước chanh và giấm. Theo giả thiết, ta có 2,4 log = − x và 3 log = − y . Suy ra 2,4 x 10− = và 3 y 10− = . Suy ra 2,4 0,6 3 10 10 3,98 10 x y − − = =  . Vậy nồng độ H + của nước chanh gấp 3,98 lần nồng độ + H của giấm. Giải phương trình sau: a) 1 ( ) 2 log 2 2 x − = − ; b) log 6 log 1 1 2 2 ( x x + = + + ) ( ) Lời giải ( ) 2 1 2 1 a) log 2 2 2 2 4 6 2 x x x x −   − = −  − =  − =  =     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 b) log 6 log 1 1 log 6 log 1 log 2 x x x x + = + +  + = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 log 6 log 2 1 6 2 1 4 x x x x x  + = +      + = +  = 3. Bất phương trình mũ Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình có dạng x a b  (hoặc x a b  , x a b  , x a b  ), với ab, là những số cho trước, a  0 , a 1. Xét bất phương trình x a b  (3) Nghiệm của (3) là hoành độ các điểm trên đồ thị hàm số x y a = nằm phía trên đường thẳng y b = . Từ đồ thị ở Hình 4 , ta nhận được:
 Nếu b  0 thì mọi x đều là nghiệm của (3).  Nếu b  0 thì: - Với a 1 , nghiệm của (3) là loga x  b ; - Với 0 1   a , nghiệm của (3) là loga x  b . Chú ý: a) Tương tự như trên, từ đồ thị ở Hình 4, ta nhận được kết quả về nghiệm của mỗi bất phương trình , , xxx a b a b a b  ( các bất phương trình , x x a b a b   vô nghiệm nếu b  0 ). b) Nếu a 1 thì ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x a a u x v x    . Nếu 0 1   a thì ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x a a u x v x    . Ví dụ 5. Giải các bất phương trình sau: a) 10 0,001 x  b) 0,4 2 x  c) 1 2 2.4 2 x   x      Lời giải a) 3 10 0,001 10 10 3( 10 1) x x x do −      −  . b) 0,4 2 x  0,4     x do log 2( 0 0,4 1). c) 1 2 2.4 2 x   x      ( ) ( ) 2 1 2 1 4 2 2, 2 2 2 1 4 ( 2 1) x x x x x x do      −  +  − − + 1 5 1 5   −   − x x . Luyện tập 3. Giải các bất phương trình sau: a) 2 16 x  b) 0,1 0,001 x  c) 2 1 1 5 25 x x −              Lời giải a) 4 2 16 2 2 4 x x     x (do 2 1  ) b) 3 0,1 0,001 0,1 0,1 3 x x     x (do 0,1 1  ) c) 2 2 2 1 1 1 1 5 25 5 5 x x x x − −                                    2 2 1 1 1 2 2 2 (do 1 ) 5 5 5 x x x x x −        −  −         