Tiêu đề B2.1_TỰ LUẬN (Bản Giáo viên).docx ✅

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Page 1 Sưu tầm và biên soạn II DÃY SỐCẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG LÝ THUYẾT. I = = = I 1. ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . Nghĩa là 1nnuud với *nℕ Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng. Đặc biệt, khi 0d thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: 1) Nếu nu là một cấp số cộng thì mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 11 2 kk k uu u  với 2k . (3) 2) Cấp số cộng nu là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai 0d . 3) Cấp số cộng nu là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai 0d . CHÚ Ý Để chứng minh dãy số nu là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh 1nnuu là một hằng số với mọi số nguyên dương n . VÍ DỤ. = = =I Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: 2;1;4;7;10;13;16;19 . Lời giải Vì 123;413;743;1073; 13103;16133;19163. Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số 2;1;4;7;10;13;16;19 là một cấp số cộng với công sai 3d . Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó. a) Dãy số na , với 43nan . b) Dãy số nb , với 23 4n n b  .
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Page 2 Sưu tầm và biên soạn Lời giải a) Ta có 141341nann nên 141434,1nnaannn . Do đó na là cấp số cộng với số hạng đầu 11a và công sai 4d . b) Ta có  1 23113 44n nn b  nên 1 13233 ,1 444nn nn bbn  . Suy ra nb là cấp số cộng với số hạng đầu 1 1 4b và công sai 3 4d . Ví dụ 3. Cho cấp số cộng nu có 7 số hạng với số hạng đầu 1 2 3u và công sai 4 3d . Viết dạng khai triển của cấp số cộng đó. Lời giải Ta có 21 2 3uud ; 322uud ; 43 10 3uud 54 14 3uud ; 656uud ; 76 22 3uud . Vậy dạng khai triển của cấp số cộng nu là 22101422 ;;2;;;6; 33333 . 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG. Định lý 1 : Nếu cấp số cộng nu có số hạng đầu 1u và công sai d thì số hạng tổng quát nu được xác định bởi công thức: 11,2nuundn (2). VÍ DỤ. = = =I Cho cấp số cộng nu có 12u và 5d . a) Tìm 20u . b) Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng? Lời giải a) Ta có 201(201)219.(5)93.uud20119219.593uud . b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là 1175nuundn . Vì 2018nu nên 752018405nn . Do 405n là số nguyên dương nên số 2018 là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho. Chú ý : VÍ DỤ. = = =I a) Cho cấp số cộng nu có 99101u và 10199u . Tìm 100u . b) Cho cấp số cộng 2;;6;xy Tính giá trị của biểu thức 22Pxy . Lời giải
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Page 3 Sưu tầm và biên soạn a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 99101 100 2 uu u  nên 100100u . b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 26 2 2x  và 6 2 xy  . Vì 2x nên 10y . Vậy 2222210104Pxy . 2222210104Pxy . 3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG. Định lý 2 : Giả sử nu là một cấp số cộng có công sai d . Đặt 12...nnSuuu Khi đó: 1 2 n n nuu S  (4) hoặc  1 1 2n nnd Snu  (5) VÍ DỤ. = = =I Cho cấp số cộng nu có 12u và 3d . a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. b) Biết 6095374nS , tìm n . Lời giải Ta có 2 1 3137 2 222n nnnnnn Snudn  a) Ta có 25 25(3.257) 850 2  S .  25 253.257 850 2S  . b) Vì 6095374nS nên 237 609537437121907480 2 nn nn  Giải phương trình bậc hai trên với n nguyên dương, ta tìm được 2017n . HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. II = = =I Câu 1: Cho một cấp số cộng nu có 1 1 3u , 826.u Tìm công sai d Lời giải 817uud1 267 3d11 3d . Câu 2: Cho dãy số nu là một cấp số cộng có 13u và công sai 4d . Biết tổng n số hạng đầu của dãy số nu là 253nS . Tìm n . Lời giải Ta có 1212.31.4 253 22n nundnn S 
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Page 4 Sưu tầm và biên soạn  2 11 42506023 2 n nn nL      . Câu 3: Cho một cấp số cộng ()nu có 1 1 3u= , 826u= . Tìm công sai Lời giải Ta có 81 111 7267 33uuddd=+Û=+Û= . Câu 4: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? Lời giải * Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu 180.000u , công sai 5.000d ta được số tiền phải trả khi khoan đến mét thứ n là 1121 22 n n nundnuu S   * Khi khoan đến mét thứ 50 , số tiền phải trả là  50 502.80000501.5000 10.125.000 2S   đồng. Câu 5: Cho cấp số cộng nu có số hạng tổng quát là 32nun . Tìm công sai d của cấp số cộng. Lời giải Ta có 1312323nnuunn Suy ra 3d là công sai của cấp số cộng. Câu 6: Cho cấp số cộng nu có 13u , 627u . Tính công sai d . Lời giải Ta có 615276uudd . Câu 7: Cho cấp số cộng nu có 13u , 627u . Tính công sai d . Lời giải Ta có 615276uudd . Câu 8: Cho một cấp số cộng nu có 15u và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công thức của số hạng tổng quát nu . Lời giải Ta có: 501502495150 2Sud4d . Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng 1114nuundn .