Tiêu đề Chuyên đề 14. HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT.doc ✅

Chuyên đề 14. HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT A. Một số ví dụ Một số hệ phương trình không phải là hệ phương trình bậc nhất, sau một số bước biến đổi thích hợp, chúng ta có thể giải được bằng cách đưa về hệ phương trình bậc nhất hoặc tìm được nghiệm một cách giản đơn. Sau đây là một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 9 4 1 xxyy yyzz zzxx       (Thi HSG Toán lớp 9, TP. Đà Nẵng, Năm 2011 – 2012) Giải    1110 (1)9110 415115 (2) 112112 (3) xyxxyyxxyy yyzzyyzzyz zzxxzzxxzx         Từ phương trình (1), (2), (3) nhân vế với vế, ta được:   22211110 (4) 111100 11110 (5) xyy xyy xyy      Trường hợp 1. Xét phương trình (4): 11110xyy Kết hợp với phương trình (1), (2), (3) ta có: 110 121. 154 zz xx yy        Trường hợp 2. Xét phương trình (5): 11110xyy Kết hợp với phương trình (1), (2), (3) ta có: 112 123. 156 zz xx yy       Vậy tập nghiệm của phương trình là: ;;1;4;0,3;6;2.xyz Nhận xét. Thông thường bài toán có thể giải bằng phương pháp thế : Từ phương trình (1) và (2) biểu diễn x theo y và z theo y thế vào phương trình (3). Ta thu được phương trình một ẩn (ẩn y). Cách giải đó đúng, nhưng dài, có thể dẫn đến sai lầm. Quan sát kỹ, chúng ta thấy hệ số của ẩn có vai trò như nhau trong mỗi phương trình. Vì vậy ta có thể thêm bớt để phân tích thành nhân tử và có cách giải như trên. Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 114 (1) 133 (2)      xy xy Giải Tìm cách giải. Đặc điểm của hệ phương trình là chứa dấu giá trị tuyệt đối. Do vậy ta cần nhớ tới một số công thức sau:  0A với mọi A, dấu bằng xảy ra khi 0A  nÕu 0 nÕu 0 AA A AA    Trình bày lời giải. Nhận xét: 10x nên suy ra 3301.yy Do vậy 11.yy Kết hợp với phương trình (1) ta có: 33142.yyy Suy ra: 132 13.233 134      xx x xx
Vậy tập nghiệm của phương trình là ;2;2,4;2.xy Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:    65 127 43 xyxy yzyz zxzx       (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2007 – 2008). Giải  Nhận xét: 0xyz là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.  Xét 0,xyz hệ phương trình viết dưới dạng: 5115 (1) 66 7117 (2) 1212 3113 (3) 44 xy xyxy yz yzyz zx zxzx           Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: 1111311113 2(4) 612xyzxyz     Từ phương trình (1) và (4) ta có: 5113 4 612z z Từ phương trình (2) và (4) ta có: 1713 2 1212x x Từ phương trình (3) vầ (4) ta có: 1313 3 412y y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ;;0;0;0;2;3;4.xyz Nhận xét: Ttrước khi chia hai vế cho ẩn số, chúng ta cần xét trường hợp 0xyz trước. Tránh mất nghiệm của hệ phương trình. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:    8 (1) 16 (2) 32 (3) xyxz yxyz zxzy       Giải Từ hệ phương trình, nhân vế với vế ta được: ..4096xyxzyz   ..64 ..64 xyxzyz xyxzyz     Trường hợp 1: Xét ..64xyxzyz (4) Kết hợp các phương trình (1), (2), (3) ta có:    8.648 (5) 16.644 (6) 2 (7)32.64 yzyz xzxz xyxy         Từ các phương trình (5), (6), (7) cộng vế với vế ta được: 2.147xyzxyz
Kết hợp các phương trình (5), (6), (7) ta được một nghiệm là: 1 3. 5 x y z       Trường hợp 2. Xét ..64 (8)xyxzyz Kết hợp các phương trình (1), (2), (3) ta có:    8.648 (5) 16.644 (6) 2 (7)32.64 yzyz xzxz xyxy         Từ các phương trình (5), (6), (7) cộng vế với vế ta được: 2.147xyzxyz Kết hợp các phương trình (5), (6), (7) ta được một nghiệm là: 1 3. 5 x y z       Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ;;1;3;5,1;3;5.xyz Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau: 22 3 680 xy xxyy     Giải Tìm cách giải. Quan sát kĩ, chúng ta nhìn thấy phương trình (2) có thể phân tích thành nhân tử. Từ đó ta có thể sử dụng: 00 .00 AA BCB     hoặc 0 0 A C     Trình bày lời giải 22 33 240680      xyxy xyxyxxyy 3 20 xy xy     hoặc 3 . 40 xy xy      Giải hệ 336 2033 xyyx xyxyy      Giải hệ 3334 4031 xyyx xyxyy     Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: ;6;3;4;1xy Ví dụ 6. Giải hệ phương trình    72 (1) 120 (2) 96 (3) xyxyz yzxyz xzxyz       Giải Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: 2212 2288144 12 xyz xyzxyz xyz       Trường hợp 1: Xét 12 (4).xyz Kết hợp với hệ phương trình ta được:
   12726 (5) 1212010 (6) 8 (7)1296 xyxy yzyz zxzx         Từ (4) và (5) ta có: 6126zz Từ (4) và (6) ta có: 10122xx Từ (4) và (7) ta có: 8124.yy Vậy ;;2;4;6xyz là nghiệm của hệ phương trình.  Trường hợp 2. Xét 12 (8).xyz Kết hợp hệ phương trình ta được:    12726 (9) 1212010 (10) 8 (11)1296         xyxy yzyz zxzx Từ phương trình (8) và (9) ta được: 6126zz Từ phương trình (8) và (10) ta được: 10122xx Từ phương trình (8) và (11) ta được: 8124.yy Suy ra ;;2;4;6.xyz là nghiệm của hệ phương trình. Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: ;;2;4;6,2;4;6xyz B. Bài tập vận dụng 14.1. Giải hệ phương trình:    32. 56 43. xyxy yzyz zxzx       (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Quảng Ngãi, năm học 2008 – 2009) Hướng dẫn giải – đáp số  Nhận xét: 0xyz là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.  Xét 0,xyz hệ phương trình viết dưới dạng: 3113 (1) 22 5115 (2) 66 4114 (3) 33 xy xyxy yz yzyz zx zxzx           Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: 1111111111 2 36xyzxyz     (4) Từ phương trình (1) và (4) ta có: 3111 3 26z z Từ phương trình (2) và (4) ta có: 1511 1 66x x Từ phương trình (3) và (4) ta có: 1411 2 36y y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ;;xyz là 0;0;0;1;2;3