Tiêu đề 042_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Nghệ An_25-26 (1).pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (2,0 điểm) a) Biết rằng ( )( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 1 + + +  + n chia hết cho 2 1297 , vói n là số nguyên dương. Chứng minh 649 n  . b) Tìm các số nguyên dương ab, thỏa mãn các điều kiện sau: a b − là số nguyên tố, ab là số chính phương và a b + −3 chia hết cho 5 . Câu 2. (7,0 điểm) a) Giải phương trình 2 2 2 4 5 ( 2) x x x + = − . b) Giải hệ phương trình ( ) 3 3 2 2 9 18 5 4 5 1 x y x y x y  − = −   + = −  Câu 3. (2,0 điểm) Kết thúc năm học, thầy giáo chọn ngẫu nhiên bốn trong năm bạn lớp 9A gồm: An , Bình, Cường, Dũng, Thảo để dự hội nghị tuyên dương. a) Tính xác suất để trong bốn bạn được chọn có bạn An. b) Ban tổ chức chuẩn bị bốn phần quà khác nhau dành riêng cho mỗi bạn lớp 9A tham dự. Tại hội nghị, do quên ghi tên trên quà nên ban tổ chức đã phát ngẫu nhiên quà cho bốn bạn, mỗi bạn nhận một phần quà. Tính xác suất của biến cố "có ít nhất một bạn nhận đúng phần quà của mình". Câu 4. (7,0 điểm) Cho ABC nhọn ( ) AB AC  nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R . Các đường cao AD BE CF , , của ABC cắt nhau tại H . Đường kính AK của đường tròn (O) cắt EF tại N . a) Chứng minh tứ giác BKNF nội tiếp và AKD AHN = . b) Đường thẳng qua C song song với AB cắt đường thẳng BE tại M . Gọi Q là giao điểm của BC và HK , đường thẳng EF cắt QM tại P . Chứng minh BPC vuông. c) Giả sử AC, và đường tròn (O) cố định, AC R  3 , điểm B di động trên cung lớn AC . Xác định vị trí của điểm B để tổng chu vi của các tam giác AEF BFD CED , , lớn nhất. Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số thực a và b thỏa mãn các điều kiện sau: i) a b   420 . ii) Với mọi số thực x y z , , thỏa mãn a x b a y b a z b       , , , ta luôn có 2 1 ( 420) 105 x y z xyz + + −  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T b a = − . Câu 6. ( 1,0 điểm) Trên bảng có dãy số 1;2;3; ;2025  ta thực hiện như sau: Nếu trên bảng có 4 số a b c d ; ; ; sao cho d a b c = + + thì ta xóa 4 số đó và viết 3 số a b b c c a + + + ; ; lên bảng. Giả sử tại một thời điểm trên bảng còn n số: 1 2 ; ; ; n a a a  . Chứng minh rằng 4 4 4 4 1 2 3 9 n a a a a + + + + − chia hết cho 12 và n 1520. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Trường họp 1: 2 9 3 0 5 5 x y y =  =  =  . Trường họp 2: 2 x xy + =18 suy ra ( ) 2 2 2 2 5 18 y x x xy − = = + Hay ( )( ) 2 2 3 10 0 2 3 5 0 x xy y x y x y + − =  + − = . • Nếu 2 2 2 x y y x y = −  = − = 2 9 5 . Suy ra 6, 3 6, 3 x y x y  = − =   = = − . • Nếu 2 2 2 2 25 20 81 3 5 9 5 9 9 20 x y y y y y =  = − =  = . Suy ra 3 5 9 5 , 2 10 3 5 9 5 , 2 10 x y x y   = =    = − = −  . Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: ( ) ( ) 3 3 3 5 9 5 3 5 9 5 0, , 0, , , , , , 6,3 , 6, 3 . 5 5 2 10 2 10             − − − − −                 Câu 3. a. Để chọn 4 bạn mà trong đó có bạn An thì ta chọn An có 1 cách. Ta chọn 3 bạn trong 4 bạn còn lại có 4 cách, bao gồm: Dũng, Bình, Cường ; Dũng, Bình, Thảo; Bình, Cường, Thảo; Cường, Dũng, Thảo Như vậy số trường hợp để chọn 4 bạn mà trong đó có bạn An là 4 . Xác suất chọn 4 bạn mà trong đó có bạn An là 4 5 . b. Cách 1: Tính trực tiếp. Giả sử 4 bạn được trao giải lài A,B,C,D. Ký hiệu các phần thưởng là số 1,2,3,4 tương ưng với 4 bạn A, B,C,D. Ta xét 3 trường hợp sau: TH1: Chỉ có 1 bạn nhận đúng phần thưởng, chọn 1 bạn trong 4 bạn có 4 cách chọn. Giả sử bạn đó là A,3 bạn còn lại là B,C,D , chọn B để trao có 2 cách (nhận phần thưởng số 3 hoặc 4. Nếu B nhận số 3 thì D nhận số 2 và C nhận số 4 . Nếu B nhận số 4 thì D nhận số 3,C nhận số 2). Như vậy TH này có 2 4 8  = cách. TH2: Có 2 bạn nhận đúng phần thưởng, có 6 cách chọn 2 trong 4 bạn, Giả sử hai bạn nhận đúng phần thưởng là A (nhận số 1 ) và B (nhận số 2 ), khi đó C,D chỉ có 1 cách trao phần thưởng ( C nhận số 4,D nhận số 3 ). TH3: Cả 4 bạn đều trao đúng phần thưởng (nếu 3 bạn trao đúng thì cả 4 bạn trao đúng) Như vậy có 8 6 1 15 + + = cách. Số cách để phát 4 phần quà tuỳ ý cho 4 bạn là 4.3.2.1 = 24. Vậy xác suất để "có ít nhất một bạn nhận đúng quà của mình" là: 15 5 24 8 = . Cách 2: Tính gián tiếp: Ta đếm số trường hợp mà không ai trong bốn bạn nhận đúng quà của mình. Giả sử có bốn bạn A B C D , , , . Trước tiên, nếu A lấy bất kì quà của ba bạn còn lại thì có 3 cách. Giả sử A lấy của B . Khi đó ta có các trường hợp sau: Bạn B C D Lấy A D C Lấy C D A Lấy D A C Như vậy có thể các 9 trường hợp. Vậy để ít nhất một bạn nhận đúng quà của mình thì có tất cả là 15 trường hợp.
Số cách để phát 4 phần quà tuỳ ý cho 4 bạn là 4.3.2.1 = 24 . Vậy xác suất để "có ít nhất một bạn nhận đúng quà của mình" là: 15 5 24 8 = . Câu 4. a. Vì AK là đường kính nên   ACK ABK = = 90 . Ta chứng minh được: AEF ABC  (c.g.c)  =   AEF ABC . Suy ra 180 180 2 90 2 2 AOC ABC OAC AEF AEF ABC       − − + = + = + = . Suy ra AK vuông góc với EF . Như vậy   KNF ABK = = 90 . Từ đó suy ra được tứ giác BFNK nội tiếp. Khi đó chứng minh được ( ) AN AF ANF ABK g g AN AK AB AF AB AK    =   =  . Và ( ) AF AH AFH ADB g g AD AH AB AF AN AK AD AB    =   =  =  Suy ra , AN AH DAK AD AK =  chung suy ra AHN AKD  ( c.g.c )  =   AHN AKD . b. Gọi G là trung điểm của AH . Ta chú ý BHCK là hình bình hành nên BC HK , cắt nhau tại trung điểm, tức là Q là trung điểm BC . Gọi I là giao của AH và EF . Ta chú ý hai tam giác MBC CAH  do các cặp cạnh tương ứng vuông góc với nhau. (1) Gọi L là giao của AD với (O) . Ta có tứ giác NILK nội tiếp. Và chứng minh được # 2( ) AB AL AB AF AN AK AI AL AI AF  =  =   = Kết hợp với góc BAL chung suy ra BIA LFA ABI ALF   =   . Mà DQ song song LK do cùng vuông với AL nên D là trung điểm của HL . Ta có: 2 , HF HC HA HD HG HD HG HL HF HG FHL GHC HL HC    =  =  =   = = Suy ra FHL GHC  (c.g.c)  =   FLH GCH . Kết hợp với (2) thì    ABI FLH GCH = = . Ta có biển đổi góc sau:        IBE ABE ABI ACH GCH ACG BMQ = − = − = = . do 1 ( ( )) Do đó BI song song với MP . Theo định lý Thales ta có L G P Q M N K F H E D O A B C