Tiêu đề Chương 1_Bài 1_ _Đề bài.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS- PHIÊN BẢN 2025-2026 2 BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y f x = ( ) là hàm số xác định trên K . - Hàm số y f x = ( ) được gọi là đồng biến trên K nếu " Î < Þ < x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , ,    . - Hàm số y f x = ( ) được gọi là nghịch biến trên K nếu " Î < Þ > x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , ,     . Chú ý: - Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a). Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b). Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K . Việc tim các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số. - Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó. Ví dụ 1. Hình 1.4 là đồ thị của hàm số y f x x = = ( ) | |. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. Lời giải Tập xác định của hàm số là ¡ . Từ đồ thị suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) +¥ , nghịch biến trên khoảng ( ;0) -¥ . ĐỊNH LÝ Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên khoảng K . a) Nếu f x ¢( ) 0 > với mọi x K Î thì hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng K . b) Nếu f x ¢( ) 0 < với mọi x K Î thì hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng K .
BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS- PHIÊN BẢN 2025-2026 3 Chú ý - Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f x ¢( ) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K . - Người ta chứng minh được rằng, nếu f x ¢( ) 0 = với mọi x K Î thì hàm số f x( ) không đổi trên khoảng K . Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số 2 y x x = - + 4 2 . Lời giải Tập xác định của hàm số là ¡ . Ta có: y x y ¢ ¢ = - > 2 4; 0 với xÎ +¥ (2; ); y¢ < 0 với xÎ -¥ ( ;2). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) +¥ , nghịch biến trên khoảng ( ;2) -¥ . b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đ̛ơn điệu của hàm số Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y f x = ( ) : 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm f x ¢( ). Tìm các điểm ( 1,2, ) i x i = 1⁄4 mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. 3. Sắp xếp các điểm i x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn đị̣̂u của hàm số 2 2 5 1 x x y x - + = - . Lời giải Tập xác định của hàm số là ¡ \{1}. Ta có:   2 2 2 2 (2 2)( 1) 2 5 2 3 ; 0 1 ( 1) ( 1) x x x x x x y y x x x - - - - + - - ¢ ¢ = = = Û = - - - hoặc x = 3. Lập bảng biến thiên của hàm số: Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) -¥ - và (3; ) +¥ . Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 1;1) - và (1;3). Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số 2 1 x y x- = + .
BÀI GIẢNG TOÁN 12-KNTT VỚI CS- PHIÊN BẢN 2025-2026 4 Lời giải Tập xác định của hàm số là ¡ \{ 1} - . Ta có: 2 2 ( 1) ( 2) 3 0 ( 1) ( 1) x x y x x + - - ¢ = = > + + , với mọi x 1 -1. Lập bảng biến thiên của hàm số: Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) -¥ - và ( 1; ) - +¥ . 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm cực trị của hàm số Tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y f x = ( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; ) a b ( a có thể là -¥,b có thể là +¥) và điểm 0 x a b Î( ; ). - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f x f x ( ) <  0  với mọi x x h x h a b Î - + Ì  0 0 ; ( ; )  và 0 x x 1 thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực đại tại 0 x . - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f x f x ( ) >  0  với mọi x x h x h a b Î - + Ì  0 0 ; ( ; )  và 0 x x 1 thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại 0 x . Chú ý - Nếu hàm số y f x = ( ) đạt cực đại tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm cực đại của hàm số f x( ) . Khi đó, f x 0  được gọi là giá trị cưc đại của hàm số f x( ) và kí hiệu là CÐ f hay CÐ y . Điểm M x f x 0 0 0  ;   được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. - Nếu hàm số y f x = ( ) đạt cực tiểu tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm cưc tiểu của hàm số f x( ) . Khi đó, f x 0  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f x( ) và kí hiệu là CT f hay CT y . Điểm M x f x 0 0 0  ;   được gọi là điểm cục tiểu của đồ thị hàm số. - Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số. Ví dụ 5. Hình 1.8 là đồ thị của hàm số y f x = ( ) . Hãy tìm các cực trị của hàm số.