Tiêu đề C5-B1-GIOI HAN CUA DAY SO.docx ✅

 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 1 MỤC LỤC ⬥CHƯƠNG 5. GIỚI HẠN – DÃY SỐ LIÊN TỤC 2 ▶BÀI ❶. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 2 Ⓐ. Tóm tắt kiến thức 2 Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản 3 ⬩Dạng ❶: Xác định giới hạn của dãy số bằng định nghĩa 3 ⬩Dạng ❷: Tính giới hạn hữu hạn của dãy số bằng định lí 4 ⬩Dạng ❸: Tính giới hạn của dãy số có dạng ,,(0), 0 CC C C    5 ⬩Dạng ❹: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 5 ⬩Dạng ❺: Ứng dụng thực tế 6 Ⓒ. Dạng toán rèn luyện 8 ⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn 8 ⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai 15 ⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn 25
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 2 ⬥CHƯƠNG 5. GIỚI HẠN – DÃY SỐ LIÊN TỤC ▶BÀI ❶. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Ⓐ. Tóm tắt kiến thức   ❶. Giới hạn hữu hạn của dãy số  Giới hạn 0 của dãy số  Dãy số nu có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim00. nn n u hay u khi n  Ta còn viết là lim0 n u .  Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản sau đây:  1 lim0 k n , với k nguyên dương bất kì.  lim0nq , với q là số thực thỏa mãn 1.q  Giới hạn hữu hạn của dãy số  Dãy số nu có giới hạn hữu hạn là số a ( hay nu dần tới a ) khi n dần tiến tới dương vô cực, nếu lim0.nua  Khi đó, ta viết lim.nnn n ua hay lim ua hay ua khi n   Chú ý: Nếu nuc (c là hằng số) thì limnlim ucc . ❷. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số  Cho ,limnnlim ua v= b và c là hằng số. Khi đó: limnnuvab limnnuvab lim..ncuca lim..nnuvab lim0n n ua b vb  Nếu 0,nnunthì a0 và limua¥ ❸. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  Cấp số nhân vô hạn nu có công bội q thỏa mãn 1q được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.  Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là:  1 12...... 1n u Suuu q         
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 3 ❹. Giới hạn vô cực  Ta nói dãy số nu có giới hạn là nếu nu lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limnnu hay u khi n+.  Ta nói dãy số nu có giới hạn là khi n nếu limnu , kí hiệu limnnu hay u khi n+ .  Chú ý: Ta có các kết quả sau:  a) limnu khi và chỉ khi nlimu ;  b) Nếu limnu hoặc limnu thì 1 lim0 nu ;  c) Nếu lim00nnu và u với mọi n thì 1 lim nu .  Nhận xét:  )lim,1;kankk¥ )lim1.nbqq             Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản ⬩Dạng ❶: Xác định giới hạn của dãy số bằng định nghĩa ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Chứng minh rằng (1) lim0 n n   . Lời giải Xét dãy số nu có (1)n nu n   . Giả sử h là số dương bé tuỳ ý cho trước. Ta có: 2 2 (1)1111 . Do dó: . n nnuuhhhn nhnnn   65 Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn 2 1 h thì nuh . Theo định nghĩa về dãy số có giới hạn 0 , ta có: (1) lim0 n n   . Câu 2: Chứng minh rằng 2 (1) lim0 n n   . Lời giải
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 4 Xét dãy số nu có 2 (1)n nu n   . Giả sử h là số dương bé tuỳ ý cho trước. Ta có: 22 (1)1n nu nn   . Do đó: 2 111 nuhhhn nnh . Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn 1 h thì nuh . Suy ra 2 (1) lim0 n n   . ⬩Dạng ❷: Tính giới hạn hữu hạn của dãy số bằng định lí ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Tính các giới hạn sau: a) 3 2 lim5 n     b) 21 lim45 3nn     Lời giải a) 33 22 lim5lim5lim505 nn     . b) 2121 lim45lim4limlim5lim4520 33nnnn     . Câu 2: Tính các giới hạn sau: a) 42 lim 3 n b) 34 lim 2 5 n n   c) 1 3 1 lim 5n n  d) 5 lim6 4n     Lời giải a)  . b)  . c) 0. d) 6. Câu 3: Tính các giới hạn sau: a) 2 2 1 lim 22n n nn   b) 23 lim 13 n n n   . Lời giải a) 2 2 2 2 1 1 11 limlim 12222 2nn nn nn nn       . b) 1 21 2333 limlim0 131 1 3 nn n nn nn            .