Tiêu đề Chương 8_Bài 25_ _Lời giải_Toán 10_KNTT.pdf ✅

BÀI 25. NHỊ THỨC NIU-TƠN A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Các công thức khai triển nhị thức Newton cho 4 ( ) a b + và 5 ( ) a b + : 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 3 4 5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 ( ) 4 6 4 ( ) 5 10 10 5 . + = + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + a b C a C a b C a b C ab C b a a b a b ab b a b C a C a b C a b C a b C ab C b a a b a b a b ab b Chú ý: Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton với n = 1⁄4 0;1;2;3; tạo thành tam giác Pascal. B. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG Ví dụ 1. Khai triển 4 ( 3) x + . Giải Áp dụng công thức khai triển của 4 ( ) a b + với a x b = = , 3 , ta có 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 ( 3) 4 3 6 3 4 3 3 12 54 108 81. x x x x x x x x x + = + × + × + × + = + + + + Ví dụ 2: Khai triển   5 3 2 x - Giải                      5 5 4 3 2 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 x C x C x C x C x C x C - = + - + - + - + - + - 5 4 3 2 = - + - + - 243 2430 1080 720 240 32 x x x x x Ví dụ 3. Hãy sử dụng ba hạng tử đầu tiên trong khai triển của 5 (3 0,02) - để tính giá trị gần đúng của 5 2,98 . Xác định sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được. Giải Ta có 5 5 2,98 (3 0,02) = - . Sử dụng công thức khai tiền 5 ( ) a b + , áp dụng cho a b = = - 3, 0,02 , ta thu được: 5 5 5 4 3 2 2,98 (3 0,02) 3 5 3 ( 0,02) 10 3 ( 0,02) 243 405 0,02 270 0,0004 243 8,1 0,108 235,008 = - = + × × - + × × - +1⁄4 = - × + × +1⁄4 = - + +1⁄4 » Bằng máy tính, ta kiềm tra được rằng giá trị đúng là 235,0072823968. Như vậy, sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được trên đây là | 235,0072823968 235,008 | 0,0007176032. - = Ví dụ 4: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển thành đa thức biến x của 4 1 3 x ? 4 4 æ ö ç ÷ + è ø Hướng dẫn giải
Ta có: 4 1 3 1 3 27 27 27 2 3 4 x x x x x . 4 4 256 64 128 64 256 æ ö ç ÷ + = + + + + è ø Vậy hệ số lớn nhất là 27 . 64 C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 12. Khai triển các đa thức: a. 4 ( 3) x - b. 4 (3 2 ) x y - c. 4 4 ( 5) ( 5) x x + + - d. 5 ( 2 ) x y - Lời giải a. 4 4 3 2 2 3 4 ( 3) 4 ( 3) 6 ( 3) 4 ( 3) ( 3) x x x x x - = + × × - + × × - + × × - + - 4 3 2 = - × + × - × + x x x x 12 54 108 81 b. 4 4 3 2 2 3 4 (3 2 ) (3 ) 4 (3 ) (2 ) 6 (3 ) (2 ) 4 (3 ) (2 ) (2 ) x y x x y x y x y y - = + × + × × + × × + 4 3 2 2 3 4 = + + + + 81 216 216 96 16 x x y x y xy y c.    4 4 5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 ( 5) ( 5) 5 5 10 5 10 5 5 5 5 5 ( 5) x x x x x x x x x + + - = + × + × + × + × + + + × - +  3 2 2 3 4 5 10 ( 5) 10 ( 5) 5 ( 5) ( 5) x x x × - + × - + × - + - 5 3 = + + 2 500 6250 x x x d. 5 5 4 3 2 2 3 4 5 ( 2 ) 5 (2 ) 10 (2 ) 10 (2 ) 5 (2 ) (2 ) x y x x y x y x y x y y - = + + + + + 5 4 3 2 2 3 4 5 = + + + + + x x y x y x y xy y 10 40 80 80 32 Câu 13. Tìm hệ số của 4 x trong khai triển của 5 (3 1) x - Lời giải Số hạng chứa 4 x là: 4 4 5 (3 ) ( 1) 405 × - = - x x . Vậy hệ số của 4 x trong khai triển là: -405 . Câu 14. Biểu diến 5 5 (3 2) (3 2) + - - dưới dạng a b + 2 với a , b là các số nguyên. Lời giải 5 5 4 3 2 2 3 4 5 (3 2) 3 5.3 2 10.3 ( 2) 10.3 ( 2) 5.3 ( 2) ( 2) + = + × + × + × + × + 5 5 4 3 2 2 3 4 5 (3 2) 3 5.3 2 10.3 ( 2) 10.3 ( 2) 5.3 ( 2) ( 2) - = - × + × - × + × - 5 5 Þ + - - = + + = (3 2) (3 2) 810 2 360 2 8 2 1178 2 Câu 15. a. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của 5 (1 0,02) + để tính giá trị gần đúng của 5 1,02 b. Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 5 1,02 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a . Lời giải a. 5 5 5 4 1,02 (1 0,02) 1 5 1 0,02 1,1 = + » + × × = b. Ta có: 5 1,02 1,1 0,0005 - < Sai số tuyệt đối là 0,0005 . Câu 16. Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tì lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r\%. a. Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là 5 800 1 100 æ ö = + ç ÷ è ø r P (nghìn người). b. Với r =1,5% , dùng hai số hạng đầu trong khai triển của 5 (1 0,015) + hãy ước tính số dân của tình đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).
Lời giải a. Số dân của tỉnh đó sau 1 năm là: 1 800 800 800 1 100 100 æ ö = + × = + ç ÷ è ø r r P (nghìn người)). Số dân của tỉnh đó sau 2 năm là: 2 2 1 1 1 . 1 800 1 1 800 1 100 100 100 100 100 r r r r r P P P P æ ö æ ö æ ö æ ö = + = × + = + × + = + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø (nghìn người). Suy ra số dân của tình đó sau 5 năm là: 5 5 800 1 100 æ ö = + ç ÷ è ø r P (nghìn người). b. 5 5 4 (1 0,015) 1 5 1 0,015 1,075 + » + × × = Số dân của tỉnh đó sau 5 năm xấp xỉ là: 800.1,075 860 = nghìn người. D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 a b + có bao nhiêu số hạng? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn C Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 a b + có 4 1 5 + = số hạng. Câu 2. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 2 3 x - có bao nhiêu số hạng? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn C Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 2 3 x - có 4 1 5 + = số hạng. Câu 3. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 a b + , số hạng tổng quát của khai triển là A. 1 5 4 k k k C a b - - . B. 4 4 k k k C a b - . C. 1 5 1 4 k k k C a b + - + . D. 4 4 4 k k k C a b - - . Lời giải Chọn B Số hạng tổng quát của khai triển   4 a b + là 4 4 k n k k k k k C a b C a b n - - = . Câu 4. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 2 3 x - , số hạng tổng quát của khai triển là A. 4 4 4 2 3 . k k k k C x - - . B.   4 4 4 2 3 . k k k k C x - - - . C. 4 4 4 2 3 . k k k k C x - - . D.   4 4 4 2 3 . k k k k C x - - - . Lời giải Chọn B Số hạng tổng quát của khai triển   4 2 3 x - là       4 4 4 4 4 2 3 2 3 . k k k k k k k C x C x - - - - = - . Câu 5. Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 1 2 - x . A. 1. B. -1. C. 81. D. -81. Lời giải Chọn A
Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 2 3 x - chính là giá trị của biểu thức   4 2 3 x - tại x =1. Vậy   4 S = - = 1 2.1 1. Câu 6. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 1 3 + x , số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x là A. 108x . B. 2 54x . C. 1. D. 12x . Lời giải Chọn D Ta có     4 4 4 4 4 0 0 1 3 3 3 k k k k k k k x C x C x = = + = = å å . Do đó số hạng thứ 2 theo số mũ tăng dần của x ứng với k =1, tức là 1 1 4 C x x 3 12 = . Câu 7. Tìm hệ số của 2 2 x y trong khai triển nhị thức Niu-tơn của   4 x y + 2 . A. 32 . B. 8 . C. 24 . D. 16 . Lời giải Chọn C Ta có     4 4 4 4 4 4 4 0 0 2 2 .2 . k k k k k k k k k x y C x y C x y - - = = + = = å å . Số hạng chứa 2 2 x y trong khai triển trên ứng với 4 2 2 2 k k k ì - = í Û = î = . Vậy hệ số của 2 2 x y trong khai triển của   4 x y + 2 là 2 2 4 C .2 24 = . Câu 8. Tìm số hạng chứa 2 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của     4 2 P x x x x = + - 4 2 . A. 2 28x . B. 2 -28x . C. 2 -24x . D. 2 24x . Lời giải Chọn B Ta có     4 2 P x x x x = + - 4 2     4 4 2 4 2 5 4 4 0 0 4 2 4 2 k k k k k k k k x x C x x C x - - = = = + - = + - å å . Số hạng chứa 2 x (ứng với k = 3) trong khai triển P x  là   3 3 2 2 4 é ù 4 2 28 + - = - C x x ë û . Câu 9. Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 2 48 A A n n + = . Tìm hệ số của 3 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 3  n - x . A. -108 . B. 81. C. 54 . D. -12 . Lời giải Chọn A ĐK: n n 3 Î 3; ¥ . 3 2 2 48 A A n n + = Û     ! ! 2. 48 3 ! 2 ! n n n n + = - - Û n n n n n  - - + - = 1 2 2. 1 48     Û 3 2 n n - - = 48 0 Û n = 4 (thỏa). Ta có       4 4 4 4 4 0 0 1 3 3 3 k k k k k k k x C x C x = = - = - = - å å .