Nội dung text Chuyên đề 11_Ba đường conic_Lời giải.pdf
CHUYÊN ĐỀ 11: BA ĐƯỜNG CONIC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ELIP Cho 2 điểm cố định F1 và F2 với 1 2 F F c c = 2 ( 0) . Elip là tập hợp các điểm M sao cho 1 2 MF MF a + = 2 trong đó a là hằng số, a c . 2. Phương trình chính tắc: Phương trình chính tắc của elip có dạng 2 2 2 2 1 x y a b + = (với ) 2 2 2 a b c a b = + ; 0 . 3. Trục lớn: Độ dài trục lớn 1 2 A A a = 2 . Đỉnh trên trục lớn 1 2 A a A a ( ;0), ( ;0) − . 4. Trục nhỏ: Độ dài trục nhỏ 1 2 B B b = 2 . Đỉnh trên trục nhỏ 1 2 B b B b (0; ), (0; ) − . 5. Hình chữ nhật cơ sở: x a y b = = ; . 6. Tiêu điểm: 1 2 F c F c ( ;0), ( ,0) − . Tiêu cự 1 2 F F c = 2 . 7. Tâm sai: c e a = . 8. Bán kính qua tiêu điểm: Cho M x y E ( M M ; ( ) ) - Bán kính qua tiêu điểm 1 1 : M c MF a x a F = + - Bán kính qua tiêu điểm 2 2 : M c F MF a x a = − II. HYPEBOL 1. Định nghĩa: Cho hai điểm 1 2 F F c = 2 0 . Tập hợp các điểm M sao cho 1 2 MF MF a − = 2 với a c gọi là một hypebol.
2. Phương trình chính tắc: Phương trình chính tắc của Hypebol ( ) H có dạng: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 , , 0, x y a b c c a b a b − = = + . 3. Trục thực: Ox . Độ dài trục thực: 1 2 A A a = 2 . Các đỉnh: 1 2 A a A a ( ;0), ( ;0) − . Trục ảo: O y. 4. Độ dài trục ảo: 1 2 B B b = 2 5. Tiêu điểm: 1 2 F c F c ( ;0), ( ;0) − 6. Tiêu cự: 1 2 F F c = 2 7. Tiệm cận: b y x a = 8. Tâm sai: c e a = 9. Bán kính qua tiêu điểm: Cho ( ) 2 2 2 2 ; ( ) : 1 M M x y M x y H a b − = . ( ) 2 2 2 a b c c a b , , 0, = + . + Nếu M thuộc nhánh phải: 1 2 : ; M M M c c x a MF x a MF x a a a = + = − ; + Nếu M thuộc nhánh trái: 1 2 : ; M M M c c x a MF x a MF x a a a − = − − = − + ; 10. Phương trình đường chuẩn của Hypebol ( ) H có dạng: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 , , 0, x y a b c c a b a b − = = + là các đường thẳng ( 1 ): 0 a x e + = và ( 2 ): 0 a x e − = với a và e là các giá trị trục thực và tâm sai. III. PARABOL 1. Định nghĩa: Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định không đi qua F . Parabol ( ) P là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng . + Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol. + Đường thẳng được gọi là đuờng chuẩn của parabol + p d F = ( ; ) được gọi là tham số tiêu của parabol.
2. Phương trình chính tắc của parabol: Với ;0 2 p F và : ( 0) 2 p = − x p ; 2 M x y P y px ( ; ) ( ) 2 = (3) Phương trình (3) được gọi là phương trình chính tắc của parabol. Ngoài ra các phương trình Parabol ( ) P có dạng 2 2 2 y px x py x py = − = = − 2 ; 2 ; 2 . Trong khuôn khổ Câuhọc ta chỉ học dạng: 2 y px = 2 . 3. Hình dạng và tính chất của parabol: + Tiêu điểm ;0 2 p F + Phương trình đường chuẩn: : ( 0) 2 p = − x p + Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của parabol. + Ox được gọi là trục đối xứng. + M x y ( M M ; ) thuộc ( ) P thì: ( ; ) 2 M p MF d M x = = + B. BÀI TẬP VẬN DỤNG BÀI TOÁN 1: CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ELIP Câu 1: Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 60 m và 30 m. Ông chia thành hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích sử dụng khác nhau. Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được tính theo công thức S ab = trong đó a, b lần lượt là đọ dài nửa trục lớn và nửa trục bé của elip. Biết độ rộng của đường elip không đáng kể.
Lời giải Theo đề ta có: a b = = 30; 15 . Diện tích ( ) E là: 2 15.30 E S m = Vì đường tròn tiếp xúc trong, nên tiếp xúc tại đỉnh của trục nhỏ, suy ra bán kính đường tròn: R m =15 . Diện tích hình tròn ( ) C phần trồng cây lâu năm là: 2 2 .15 T S m = Tỉ số diện tích 2 2 15 15 1 15 30 15 30 15 T E T S T S S = = = = − − − . Câu 2: Gương elip trong một máy tán sọi thận có cấu tạo như hình. Đầu phát siêu âm đặt ở vị F1 , bệnh nhân được đặt điều chỉnh sao cho viên sỏi nằm ở F2 , chùm tia xuất phát từ F1 sẽ hội tụ tại F2 . Biết kích thước hai trục đối xứng của elip lần lượt là 40 cm và 17,4 cm . Tìm khoảng cách từ đầu phát siêu âm đến viên sỏi thận. Lời giải Theo đề ta có: 2 2 2 40 20 18 cm 2 17,4 8,7 a a c a b b b = = = − = = Vậy khoảng cách giữa đầu siêu âm đến viên sỏi là 2 36 cm c = . Câu 3: Một mái vòm nhà hát có mặt cắt là hình nửa elip. Cho biết khoảng cách giữa hai tiêu điểm là F F = 50 m và chiều dài của đường đi của một tia sáng từ F đến mái vòm rồi phản chiếu về F là 100 m. Viết phương trình chính tắc của elip đó. Lời giải Ta có F F c = = 2 50 , suy ra c = 25. Tổng khoảng cách F M FM a2 100 + = = . Suy ra a = 50 .