Tiêu đề Toán 12_Tập 2 C4_Bài 1. Nguyên hàm CTST_bản GV.pdf ✅

1 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài 1. Nguyên hàm A. Kiến thức cần nhớ 1. Khái niệm nguyên hàm  C s f x() x tr K. s F x( ) n n m s f x() trên K u: F x f x x K ( ) ( ), .  Cho F x( ) t uy f x() trên K . K ó: • Với mỗi hằng s C, hàm s F x C ( ) t uy f x() trên K . • N u G x( ) t uy f x() trên K thì tồn tại hằng s C sao cho G x F x C ( ) ( ) , x K .  N vậy, m i nguyên hàm c a hàm s f x() trên K ều có dạng F x C ( ) , với C là m t hằng s . Ta g i F x C ( ) , C là h tất cả các nguyên hàm c a f x() trên K , kí hiệu: f x x ( )d và vi t là: f x x F x C ( )d ( )  Chú ý: • Biểu thức f x() c g i là vi phân c a nguyên hàm F x( ) c a f x() , kí hiệu là d ( ) F x . Vậy d ( ) ( )dx ( )dx F x F x f x . • M i hàm s f x() liên tụ tr K ều có nguyên hàm trên K. Bài toán tìm nguyên hàm c a m t hàm s mà không chỉ rõ khoả K t ì c hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoả x nh c a hàm s ó. • Từ ĩ uy , t ó f x x f x C ( )d ( ) . 2. Tính chất của nguyên hàm • k f x x k f x x ( )d . ( )d , với k là hằng s khác 0. • f x g x x f x x g x x ( ) ( ) d ( )d ( )d . • f x g x x f x x g x x ( ) ( ) d ( )d ( )d . 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1) 0d . x C 2) 1d . x x C 3) 1 . 1 x x dx C , 1 4) 1 . ln dx x C x 5) . x x e dx e C 6) . , (0 1) ln x x a a dx C a a 7) cos . sin x dx x C 8) sin . cos x dx x C 9) 2 1 d cot . sin x x C x 10) 2 1 d tan . cos x x C x
2 B. Các dạng bài tập & phương pháp giải Dạng 1. Chứng minh hàm số F x( ) à ột ngu ên hà củ f x() trên K Ví dụ 1. Chứng minh rằng: a) 2 F x x x ( ) 5   là m t nguyên hàm c a hàm s f x x ( ) 5 2   trên . b) G x x ( ) tan  là m t nguyên hàm c a hàm s 2 1 ( ) cos g x x  trên ; 2 2          . c) Chứng minh rằng F x x x    ln là m t nguyên hàm c a hàm s f x x    1 ln trên khoảng 0;. Lời iải t am k ảo a) Ta có   2 F x x x x f x ( ) 5 5 2 ( )        với m i x thu c . Vậy F x( ) là m t nguyên hàm c a hàm s f x( ) trên . b) Ta có 2 1 ( ) (tan ) ( ) cos G x x g x x      với m i x thu c ; 2 2          . Vậy G x( ) là m t nguyên hàm c a hàm s g x( ) trên ; 2 2          . c)   ln ln ln 1      F x x x x x f x      với m i x  0;  nên hàm s F x x x    ln là m t nguyên hàm c a hàm s f x x    1 ln trên khoảng 0;. Ví dụ 2. Cho hàm s 2 f x x ( ) 3  x nh trên . a) Chứng minh rằng 3 F x x ( )  là m t nguyên hàm c a f x( ) trên . b) Với C là hằng s tuỳ ý, hàm s H x F x C ( ) ( )   có là nguyên hàm c a f x( ) trên không? c) Giả sử G x( ) là m t nguyên hàm c a f x( ) trên . Tì ạo hàm c a hàm s G x F x ( ) ( )  . Từ ó, ó nhận xét gì về hàm s G x F x ( ) ( )  ? Lời iải t am k ảo a)   3 2 F x x x f x ( ) 3 ( )      với m i x , suy ra F x( ) là m t nguyên hàm c a f x( ) trên . b) H x F x C F x f x ( ) ( ( ) ) ( ) 0 ( )         với m i x , suy ra H x( ) ũ uy a f x( ) trên . c) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0 G x F x G x F x f x f x          . Suy ra G x F x C ( ) ( )   ( C là hằng s ). D ó, G x H x ( ) ( )  là hàm hằng. Ví dụ 3. Tí ạo hàm c a hàm s ( ) x F x xe  , suy ra nguyên hàm c a hàm s ( ) ( 1) x f x x e   . Lời giải tham khảo ( ) ( 1) x x x F x e xe x e      nên F x( ) là m t nguyên hàm c a ( ) ( 1) x f x x e   . Ví dụ 4. Cho hàm s 2 f x x x ( ) 2   . Trong các hàm s d ớ ây, s nào là m t nguyên hàm c a hàm s f x( ) trên ?
3 a) 3 2 ( ) 3 x F x x   ; b) 3 2 ( ) 3 x G x x   . Lời giải tham khảo Ta có: 2 2 F x x x G x x x ( ) 2 , ( ) 2       . Vì F x f x ( ) ( )   với m i x nên hàm s F x( ) là m t nguyên hàm c a f x( ) trên . Hàm s G x( ) không là nguyên hàm c a f x( ) trên vì với x  1 , ta có G f (1) 3 1 (1).      Ví dụ 5. Hàm s d ớ ây t nguyên hàm c a hàm s 1 f x x ( ) x   trên khoảng (0; )  ? a) 1 2 ( ) ln 2 F x x x   ; b) 2 ( ) ln 2 x G x x   . Lời giải tham khảo F x( ) là m t nguyên hàm c a hàm s f x( ) trên khoảng (0; )  . Ví dụ 6. Trong mỗ tr ờng h p sau, hàm s F x( ) có là m t nguyên hàm c a hàm s f x( ) trên khoảng t ơ ứng không? Vi sao? a) F x x x ( ) ln  và f x x ( ) 1 ln   trên khoảng (0; )  ; b) sin ( ) x F x e  và cos ( ) x f x e  trên . Lời giải tham khảo a) F x x x x x f x ( ) ln (ln ) ln 1 ( )        với m i x  (0; ) nên hàm s F x x x ( ) ln  là m t nguyên hàm c a hàm s f x x ( ) 1 ln   trên khoảng (0; )  . b) sin ( ) x F x e  không là nguyên hàm c a hàm s cos ( ) x f x e  trên . Dạng 2. Tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp (dùng bảng nguyên hàm) 2.1) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa Ví dụ 7. Tìm: a) 6 x x d  ; b) 2 x x d  trên ; c) 1 dx x  . d) 4 x x d  ; e) 3 1 dx x  ; f) x x x d ( 0)   . Lời giải tham khảo a) 6 7 1 d 7 x x x C    b) 3 2 d 3 x x x C    trên . c) 1 1 2 2 1 d d 2 2 x x x x C x C x         . d) 5 4 d 5 x x x C    ; e)   2 3 3 2 1 1 d d 2 2 x x x x C C x x            ; f) 3 1 2 2 2 d d 3 3 x x x x x x x C       . Ví dụ 8. Tìm m t nguyên hàm F x c a hàm s 5 f x x x 6 2 – 3 bi t F 1 5.
4 Ví dụ 9. Cho hàm s y f x  ( ) x nh trên khoảng (0; )  . Bi t rằng, 2 1 f x x ( ) 2 x    với m i x  (0; ) và f (1) 1  . Tính giá tr f (4) . Lời giải tham khảo só f x( ) cân tìm là m t nguyên hàm c a hảm s 2 1 f x x ( ) 2 x    . Ta có: 2 2 2 1 1 1 2 d 2 d d . x x x x x x C x x x                D ó, só f x( ) có dạng 2 1 f x x C x ( ) , (0; ) x      . Theo già thi t, 2 f C (1) 1 1 1     nên C  1 và 2 1 f x x x ( ) 1, (0; ) x      . Đ p s : 67 (4) 4 f  . 2.2) Nguyên hàm của hàm số 1 f x( ) x Ví dụ 10. Tính các nguyên hàm a) 3 dx x b) 4 9 dx x c) 2 3 x dx x d) 2 5 3 2 x dx x e) 4 2 3 x dx x f) 2 x 1 dx x 2.3) Nguyên hàm của hàm số ượng giác  Cần nhớ: 2 2 sin cos 1, x x 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin . x x x x x Ví dụ 11. Tính các nguyên hàm a) 3cosxdx b) 8sinxdx c) sinx cosx dx d) 2sin 5cos x x dx e) 2sin 3cos x x dx f) 1 sinx dx x g) 3 sin x x dx h) 2 3 sin x x dx i) 2 2 1 1 sin os dx x c x j) 2 1 tan x dx k) 2 1 cot x dx l) 2 2 tan cot x x dx m) 2 tan cot x x dx n) 1 1 os2 dx c x o) 3 1 os2 dx c x Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm F x  c a hàm s f x x x     sin cos thoả mãn 2 2 F         . 2.4) Nguyên hàm của hàm số mũ Ví dụ 13. Tính các nguyên hàm a) 3 x dx b) 7 x dx c) x e x dx