Tiêu đề Chương 2 - BĐT qua các đề thi chọn HSG cấp THPT - Năm 2015 - 2016.doc ✅

Chương hai BĐT QUA CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THPT Năm học 2015 – 2016 Bài 74 (Kiên Giang). Với x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:  323232 22223 . 3 xxxyyyzzz xyzyzxzxy    Bài 75 (Thái Nguyên – Lớp 10). Với x, y là các số thực dương thỏa mãn 4 . 3xy Tìm GTNN của biểu thức: 2211 .Pxy xy Bài 76 (Thái Nguyên – Lớp 12). Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 2221. 222 abc abcbaccab  Bài 77 (Hải Dương – Lớp 12). Với a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:  222 1 . 2212212213 bca ababbcbcacac  Bài 78 (Bình Phước). Với x, y là các số thực thỏa mãn 22320142012.xyxy Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 2220152111. 1 xyxy Pxy xy    Bài 79 (Bắc Ninh – Lớp 12). Với a, b là các số thực dương thỏa mãn 44.abab Chứng minh rằng: 331.abababab Bài 80 (Hà Tĩnh – Lớp 12). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1114 . abcabc  Tìm GTNN của biểu thức: 555555111.Pabc abc     Bài 81 (Thái Bình – Lớp 12). Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2.abcac bccaabac  Bài 82 (Hà Nội – Lớp 12). Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng: 111111 49. abbccaabc     LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN
74 (Kiên Giang) Với x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:  323232 22223 . 3 xxxyyyzzz xyzyzxzxy    Lời giải. Vì x + y + z = 1 nên ta có:    2 32 12 1. 1 xxxxx xxxxx xyzxx    Do đó ta cần chứng minh: 23 . 3xyzxxyyzz Theo BĐT AM – GM, ta lại có: 33 . 99xxx Tương tự cho hai đánh giá còn lại, cộng theo vế ta được: 23 . 3xxyyzzxyz Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 . 3xyz 75 (Thái Nguyên – Lớp 10) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn 4 . 3xy Tìm GTNN của biểu thức: 2211 .Pxy xy Lời giải. Cách 1:  Hướng 1: Theo BĐT AM – GM, ta có: 222114 2 xy xy xyxy       2 2 3 2 323244 2272727 3244844 3. 2.2727327 xy xyxyxy xyxy      Vì 4 3xy nên:  84481135 . 327399P xy  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 42 , 33xyxyxy , hay nói cách khác GTNN của P là 35 . 9  Hướng 2: Áp dụng BĐT AM – GM, ta có: 22 2 2 23 3 2 112161622 22 272727 2.162281135 3. 2739927 xy xy xyxyxy xyxyxyxyxy xy     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3xy , tức GTNN của P là 35 . 9
 Hướng 3: Áp dụng BĐT AM – GM, ta có: 2 22 3 2 188118114 3. 27271727273xx xxxxx Làm tương tự với biến y. Ta được: 4 3 81111811481135 .. 327327399 xy CauchySchwarz P xyxy       Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3xy , tức GTNN của P là 35 . 9 Cách 2: Ta có đánh giá sau: 223249111235 0. 1231836 xx xx xx     Áp dụng tương tự cho phần còn lại của biểu thức P. Ta được: 22111143535 . 12399xyxy xy     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3xy , tức GTNN của P là 35 . 9 76 (Thái Nguyên – Lớp 12) Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 2221. 222 abc abcbaccab  Lời giải. Cách 1: Ta có:  2 22 1 . 2222 abc abcabc  Như vậy, BĐT được viết lại là: 2221. 222 bccaab abcbcacab  Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz, ta có: 2 222222. 222()()()2() abbccabccaab abcbcacababbccaabcabc    Do đó ta cần có: 2222()()()2.abbccaabbccaabcabc BĐT trên là hiển nhiên vì đây là đẳng thức. Bài toán được chứng minh. Cách 2: Ta chuẩn hóa abc = 1. BĐT cần chứng minh là: 333 3331. 212121 abc abc  Ta có đánh giá sau:    2 23 342342 1111 0. 321621211 aaa aaaaaa    Áp dụng tương tự cho 2 số hạng còn lại ta được:
333 333424242 31111 . 22121212111 abc abcaabbcc     Áp dụng kết quả quen thuộc sau: Với a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1 và m  R. Khi đó BĐT sau luôn đúng: 222 111 1. 111mmmmmmaabbcc  Ta được: 333 333424242 311111 , 221212121112 abc abcaabbcc     hay nói cách khác: 333 3331. 212121 abc abc  Bài toán được chứng minh. Nhận xét: Một bái toán tương tự, có thể áp dụng được ý tưởng của cả hai cách làm bên trên: Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 2222221. 222222 abcbccaab abcbaccababcbaccab  77 (Hải Dương – Lớp 12) Với a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:  222 1 . 2212212213 bca ababbcbcacac  Lời giải. Vì abc = 1 nên tồn tại x, y, z > 0 sao cho ,,.xyz abc yzx Khi đó, BĐT cần chứng minh là:  222 1 . 2222223 yzx xzxzyxyxzyzy  Cách 1: Áp dụng BĐT AM – GM, ta có:  2 2 4 . 229 yy xzxzxz     Tương tự cho hai số hạng còn lại. Khi đó ta được:  222 222 4 . 2222229 yzxxyz xzxzyxyxzyzyyzzxxy       Áp dụng BĐT AM – GM kết hợp với BĐT Nesbitt quen thuộc, ta có: 222 33 . 42 AMGMNesbitt xyzxyz yzzxxyyzzxxy      Thay vào ta được điều phải chứng minh. Cách 2: Ta có:  222 2222 2 . 22925 yyy xzxzxzxyxz 